Considere a seguinte colisão entre duas pequenas esferas de mesma massa. Antes do choque, elas possuem as velocidades \mathbf{v}_{1}=v_{0} \mathbf{u}_{x} e \mathbf{v}_{2}=v_{0} \mathbf{u}_{y}, respectivamente, onde v_{0} é uma constante positiva. Após a colisão, elas permanecem grudadas uma na outra com velocidade \mathbf{v}_{f}. Suponha que a resultante das forças sobre cada uma delas é sempre nula, exceto durante a colisão, quando as forças de contato são diferentes de zero.
(a) Calcule o módulo de \mathbf{v}_{f} e o ângulo entre \mathbf{v}_{f} e eixo \mathcal{O X}.
(b) Calcule a variação da energia cinética nessa colisão.

Passo 1

O enunciado fornece:
  • Duas pequenas esferas de mesma massa. Vou chamar a massa de cada uma de m.
  • Velocidades iniciais: \mathbf{v}_{1}=v_{0}\,\mathbf{u}_{x},
\mathbf{v}_{2}=v_{0}\,\mathbf{u}_{y},
onde v_{0}>0 é dado e \mathbf{u}_{x},\mathbf{u}_{y} são vetores unitários ortogonais nos eixos \mathcal{O X} e \mathcal{O Y}.
  • Após a colisão as duas esferas permanecem grudadas e se deslocam com velocidade comum \mathbf{v}_{f}. Ou seja, o corpo resultante tem massa 2m e velocidade \mathbf{v}_{f}.
  • Informação sobre forças: a resultante das forças sobre cada uma é sempre nula, exceto durante a colisão (quando há forças de contato). Isso significa que, para o sistema formado pelas duas esferas como um todo, não há impulso externo resultante, de modo que a quantidade de movimento total do sistema é conservada durante a colisão.
    O que se pede:
    (a) o módulo de \mathbf{v}_{f} e o ângulo entre \mathbf{v}_{f} e o eixo \mathcal{O X};
    (b) a variação da energia cinética nessa colisão, isto é \Delta K=K_{f}-K_{i}.

Passo 2

Conservação da quantidade de movimento (momentum) do sistema:
  • Definição útil: a quantidade de movimento (momentum) de uma partícula é o produto da sua massa pela sua velocidade. Para uma partícula de massa m e velocidade \mathbf{v} temos \mathbf{p}=m\mathbf{v}.
  • Para o sistema com duas esferas, a quantidade de movimento total inicial é a soma vetorial das quantidades de movimento individuais. Como não há impulso externo resultante, a quantidade de movimento total é conservada:
\mathbf{p}_{i}=\mathbf{p}_{f}.
  • Escrevendo \mathbf{p}_{i}: cada esfera tem massa m, então
\mathbf{p}_{i}=m\mathbf{v}_{1}+m\mathbf{v}_{2}=m v_{0}\,\mathbf{u}_{x}+m v_{0}\,\mathbf{u}_{y}=m v_{0}\,(\mathbf{u}_{x}+\mathbf{u}_{y}).
  • Escrevendo \mathbf{p}_{f}: as duas esferas grudadas formam massa 2m com velocidade \mathbf{v}_{f}, então
\mathbf{p}_{f}=2m\,\mathbf{v}_{f}.
  • Igualando \mathbf{p}_{i} e \mathbf{p}_{f},
2m\,\mathbf{v}_{f}=m v_{0}\,(\mathbf{u}_{x}+\mathbf{u}_{y}).

Passo 3

Isolando \mathbf{v}_{f} da equação vetorial:
  • Dividindo ambos os lados por 2m,
\mathbf{v}_{f}=\frac{m v_{0}}{2m}\,(\mathbf{u}_{x}+\mathbf{u}_{y})=\frac{v_{0}}{2}\,(\mathbf{u}_{x}+\mathbf{u}_{y}).
  • Portanto as componentes de \mathbf{v}_{f} são
v_{f,x}=\frac{v_{0}}{2},\qquad v_{f,y}=\frac{v_{0}}{2}.

Passo 4

Cálculo do módulo de \mathbf{v}_{f}:
  • Fórmula para o módulo de um vetor no plano: se \mathbf{v}=(v_x,v_y) então \lVert \mathbf{v}\rVert=\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}}.
  • Aplicando às componentes encontradas,
\lVert \mathbf{v}_{f}\rVert=\sqrt{\left(\frac{v_{0}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{v_{0}}{2}\right)^{2}} =\sqrt{2\left(\frac{v_{0}^{2}}{4}\right)} =\sqrt{\frac{v_{0}^{2}}{2}} =\frac{v_{0}}{\sqrt{2}}.

Passo 5

Cálculo do ângulo entre \mathbf{v}_{f} e o eixo \mathcal{O X}:
  • O ângulo \theta pode ser obtido por \tan\theta=\dfrac{v_{f,y}}{v_{f,x}}.
  • Como v_{f,y}=v_{f,x}=\dfrac{v_{0}}{2}, temos
\tan\theta=\frac{\dfrac{v_{0}}{2}}{\dfrac{v_{0}}{2}}=1.
  • Portanto \theta=\dfrac{\pi}{4} (ou 45^\circ).

Passo 6

Cálculo das energias cinéticas inicial e final:
  • Fórmula da energia cinética de uma partícula de massa m e velocidade de módulo v:
K=\frac{1}{2}m v^{2}.
  • Energia cinética total inicial K_{i}: soma das duas esferas
K_{i}=\frac{1}{2}m v_{0}^{2}+\frac{1}{2}m v_{0}^{2}=m v_{0}^{2}.
  • Energia cinética final K_{f}: corpo único de massa 2m com velocidade de módulo \lVert \mathbf{v}_{f}\rVert=\dfrac{v_{0}}{\sqrt{2}},
K_{f}=\frac{1}{2}(2m)\left(\frac{v_{0}}{\sqrt{2}}\right)^{2}=m\cdot\frac{v_{0}^{2}}{2}=\frac{m v_{0}^{2}}{2}.

Passo 7

Cálculo da variação da energia cinética \Delta K:
  • Definição: \Delta K=K_{f}-K_{i}.
  • Substituindo os valores:
\Delta K=\frac{m v_{0}^{2}}{2}-m v_{0}^{2}=-\frac{m v_{0}^{2}}{2}.
  • Interpretação física rápida: \Delta K é negativo porque a colisão é perfeitamente inelástica (as esferas grudam), então parte da energia cinética inicial foi dissipada em calor, deformação e som.

Resposta

(a) \lVert \mathbf{v}_{f}\rVert=\dfrac{v_{0}}{\sqrt{2}}, ângulo com \mathcal{O X}: \theta=\dfrac{\pi}{4} ( 45^\circ ).\n(b) \Delta K=K_{f}-K_{i}=-\dfrac{1}{2}m v_{0}^{2}.

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