Considere um capacitor cilíndrico de altura h=5 c m, raio interno a=6 m m e capacitância 2 p F. (a) Qual é o raio da placa externa? (b) Se aplicarmos uma tensão de 50 V no capacitor, qual é o valor máximo do campo elétrico no seu interior?

Passo 1

O enunciado dá um capacitor cilíndrico coaxial e pede duas coisas: (a) o raio da placa externa; (b) o valor máximo do campo elétrico no interior quando aplicamos 50\\ \text{V}. As informações numéricas fornecidas são:
h = 5\\ \text{cm},\qquad a = 6\\ \text{mm},\qquad C = 2\\ \text{pF},
e a tensão aplicada para a parte (b) é V=50\\ \text{V}.
Vou assumir que o dielétrico entre as placas é o vácuo (ou ar) com permissividade
\varepsilon_0 = 8{,}85\times10^{-12}\\ \text{F/m}.

Passo 2

Primeiro converto todas as unidades para o SI (metros e farads):
h = 5\\ \text{cm} = 0{,}05\\ \text{m}, \qquad a = 6\\ \text{mm} = 0{,}006\\ \text{m}, \qquad C = 2\\ \text{pF} = 2\times10^{-12}\\ \text{F}.
Fazer isso evita erros nas contas e é obrigatório em prova.

Passo 3

Agora uso a fórmula da capacitância de um capacitor coaxial (cilíndrico) de comprimento h:
C = \frac{2\pi\varepsilon_0 h}{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)},
onde a é o raio interno, b é o raio externo que queremos achar, h é a altura (comprimento) e \varepsilon_0 é a permissividade do meio. Vou explicar por quê: a capacitância é definida como C = Q/V. Para um fio cilíndrico com densidade linear de carga \lambda o campo radial é \displaystyle E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}. Integrando esse campo entre r=a e r=b obtém-se a diferença de potencial \displaystyle V=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\left(\frac{b}{a}\right). Como Q=\lambda h, segue
C=\frac{Q}{V}=\frac{\lambda h}{(\lambda/(2\pi\varepsilon_0))\ln(b/a)}=\frac{2\pi\varepsilon_0 h}{\ln(b/a)}.
Cada símbolo: C (farad), \varepsilon_0 (F/m), h (m), a,b (m).

Passo 4

Isolo \ln(b/a) a partir da fórmula de C:
\ln\!\left(\frac{b}{a}\right)=\frac{2\pi\varepsilon_0 h}{C}.
Agora calculo o lado direito numericamente. Primeiro calculemos 2\pi\varepsilon_0 h:
2\pi\varepsilon_0 h = 2\pi\cdot(8{,}85\times10^{-12})\cdot0{,}05.
Faço a multiplicação passo a passo:
\varepsilon_0 h = 8{,}85\times10^{-12}\cdot0{,}05 = 4{,}425\times10^{-13},
2\pi\varepsilon_0 h = 2\pi\cdot4{,}425\times10^{-13} \approx 6{,}2831853\cdot4{,}425\times10^{-13} \approx 2{,}780\times10^{-12}.
Agora divido por C=2\times10^{-12}\\ \text{F}:
\ln\!\left(\frac{b}{a}\right) \approx \frac{2{,}780\times10^{-12}}{2\times10^{-12}} \approx 1{,}390.

Passo 5

Com \ln(b/a) conhecido, exponencio para achar b:
\frac{b}{a} = \exp\!\big(\ln(b/a)\big) \approx e^{1{,}390}\approx 4{,}017.
Portanto
b = a\cdot 4{,}017 = 0{,}006\cdot4{,}017 \approx 0{,}02410\\ \text{m} = 24{,}10\\ \text{mm}.
Arredondo na prova conforme exigido; aqui mantenho três algarismos significativos.

Passo 6

Agora a parte (b): quero o campo elétrico máximo dentro do capacitor quando aplicamos V=50\\ \text{V}. Primeiro explico a distribuição do campo: para um capacitor coaxial o campo elétrico depende de r como
E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r},
onde \lambda é a densidade linear de carga. O módulo do campo cresce quando r diminui (porque é proporcional a 1/r), então o valor máximo do campo dentro do espaço entre condutores ocorre na superfície do condutor interno, isto é em r=a. Para achar \lambda uso a relação entre V e \lambda:
V = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\left(\frac{b}{a}\right).
Isolando \lambda:
\lambda = \frac{2\pi\varepsilon_0 V}{\ln(b/a)}.
Substituo em E(r) e avalio em r=a:
E_{\max} = E(a) = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 a} = \frac{V}{a\ln(b/a)}.
Essa fórmula é prática: não precisamos conhecer \lambda explicitamente.

Passo 7

Calculo numérico de E_{\max} usando V=50\\ \text{V}, a=0{,}006\\ \text{m} e \ln(b/a)\approx1{,}390:
E_{\max} = \frac{50}{0{,}006\cdot1{,}390}.
Multiplico o denominador:
0{,}006\cdot1{,}390 = 0{,}008340.
Dividindo:
E_{\max} \approx \frac{50}{0{,}008340}\approx 5{,}994\times10^{3}\\ \text{V/m}.
Arredondando para duas ou três cifras significativas, E_{\max}\approx6{,}0\times10^{3}\\ \text{V/m}.

Resposta

(a) b \approx 24{,}1\\ \text{mm}
(b) E_{\max} \approx 6{,}0\times10^{3}\\ \text{V/m}

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