Considere um capacitor cilíndrico de altura
, raio interno
e capacitância
. (a) Qual é o raio da placa externa? (b) Se aplicarmos uma tensão de 50 V no capacitor, qual é o valor máximo do campo elétrico no seu interior?
Passo 1
O enunciado dá um capacitor cilíndrico coaxial e pede duas coisas: (a) o raio da placa externa; (b) o valor máximo do campo elétrico no interior quando aplicamos
. As informações numéricas fornecidas são:
e a tensão aplicada para a parte (b) é
.
Vou assumir que o dielétrico entre as placas é o vácuo (ou ar) com permissividade
Vou assumir que o dielétrico entre as placas é o vácuo (ou ar) com permissividade
Passo 2
Primeiro converto todas as unidades para o SI (metros e farads):
Fazer isso evita erros nas contas e é obrigatório em prova.
Passo 3
Agora uso a fórmula da capacitância de um capacitor coaxial (cilíndrico) de comprimento
:
onde
é o raio interno,
é o raio externo que queremos achar,
é a altura (comprimento) e
é a permissividade do meio. Vou explicar por quê: a capacitância é definida como
. Para um fio cilíndrico com densidade linear de carga
o campo radial é
. Integrando esse campo entre
e
obtém-se a diferença de potencial
. Como
, segue
Cada símbolo:
(farad),
(F/m),
(m),
(m).
Passo 4
Isolo
a partir da fórmula de
:
Agora calculo o lado direito numericamente. Primeiro calculemos
:
Faço a multiplicação passo a passo:
Agora divido por
:
Passo 5
Com
conhecido, exponencio para achar
:
Portanto
Arredondo na prova conforme exigido; aqui mantenho três algarismos significativos.
Passo 6
Agora a parte (b): quero o campo elétrico máximo dentro do capacitor quando aplicamos
. Primeiro explico a distribuição do campo: para um capacitor coaxial o campo elétrico depende de
como
onde
é a densidade linear de carga. O módulo do campo cresce quando
diminui (porque é proporcional a
), então o valor máximo do campo dentro do espaço entre condutores ocorre na superfície do condutor interno, isto é em
. Para achar
uso a relação entre
e
:
Isolando
:
Substituo em
e avalio em
:
Essa fórmula é prática: não precisamos conhecer
explicitamente.
Passo 7
Calculo numérico de
usando
,
e
:
Multiplico o denominador:
Dividindo:
Arredondando para duas ou três cifras significativas,
.
Resposta
(a)
(b)
(b)