Partindo das relações entre aceleração, velocidade e posição, deduza as equações horárias das velocidades e das posições no MUV (Movimento Uniformemente Variado).

Passo 1

O enunciado pede que, partindo das relações entre aceleração, velocidade e posição, você deduza as equações horárias (ou seja, as funções do tempo) para a velocidade e para a posição em movimento com aceleração constante.
Informações fornecidas (que vamos usar explicitamente):
  • A aceleração é constante; vamos chamar essa constante de \;a\;.
  • Em um instante inicial t_0 a velocidade vale \;v(t_0)=v_0\;.
  • Em t_0 a posição vale \;x(t_0)=x_0\;.
    Essas três coisas (constante a, e as condições iniciais v_0 e x_0) são os dados que usaremos para obter as equações horárias.

Passo 2

Primeiro, escrevemos as relações matemáticas básicas entre posição, velocidade e aceleração. Essas relações são definições de derivada:
a=\frac{dv}{dt}
v=\frac{dx}{dt}
Expliquei: aqui \;v(t)\; é a velocidade instantânea no tempo t, \;x(t)\; é a posição no tempo t, e \;a\; é a aceleração. A igualdade \;a=\dfrac{dv}{dt}\; significa que aceleração é a taxa de variação (derivada) da velocidade em relação ao tempo. Como nos foi dito que a aceleração é constante, \;a\; é um número fixo, não depende de t.

Passo 3

Agora integramos a relação \;a=\dfrac{dv}{dt}\; para obter a velocidade como função do tempo. Integração é a operação inversa da derivada; integrar ambos os lados em relação ao tempo dá:
\int a\,dt = \int \frac{dv}{dt}\,dt.
Como a é constante, \int a\,dt = a t + C. E \int \dfrac{dv}{dt}\,dt é simplesmente \int dv = v. Portanto obtemos, em forma geral,
v(t)=a t + C.
Aqui C é uma constante de integração que precisamos determinar com a condição inicial. Usando \;v(t_0)=v_0\; substituímos t=t_0:
v_0 = a t_0 + C \quad\Rightarrow\quad C = v_0 - a t_0.
Substituindo C de volta:
v(t)=a t + (v_0 - a t_0) = v_0 + a\,(t-t_0).
Se escolhermos o instante inicial t_0=0 (o que é usual), a fórmula fica mais simples:
v(t)=v_0 + a t.
Interpretação física: velocidade varia linearmente no tempo quando a aceleração é constante; a inclinação dessa reta é \;a\;.

Passo 4

Agora usamos \;v=\dfrac{dx}{dt}\; e substituímos a expressão encontrada para \;v(t)\; para obter a posição. Temos:
\frac{dx}{dt} = v_0 + a\,(t-t_0).
Integramos em relação a t:
\int \frac{dx}{dt}\,dt = \int \bigl(v_0 + a(t-t_0)\bigr)\,dt.
O lado esquerdo é \int dx = x(t) (mais uma constante de integração). No lado direito integramos termo a termo:
x(t) = v_0 (t - t_0) + a\int (t-t_0)\,dt + C_1.
Calcule a integral \int (t-t_0)\,dt. É \dfrac{(t-t_0)^2}{2}. Assim
x(t) = v_0 (t - t_0) + \frac{a}{2}(t-t_0)^2 + C_1.
Determine C_1 usando \;x(t_0)=x_0\;. Substituindo t=t_0 obtemos
x_0 = v_0\cdot 0 + \frac{a}{2}\cdot 0 + C_1 \quad\Rightarrow\quad C_1 = x_0.
Portanto a equação horária da posição é
x(t) = x_0 + v_0 (t - t_0) + \frac{a}{2}(t-t_0)^2.
Novamente, escolhendo t_0=0 fica a forma habitual
x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2.
Explicação: a posição é soma da posição inicial, do deslocamento devido à velocidade inicial (termo linear) e do deslocamento adicional causado pela aceleração (termo quadrático).

Passo 5

Um comentário didático sobre constantes de integração e escolhas de referência: as constantes v_0 e x_0 surgem porque integrar uma derivada sempre deixa uma constante desconhecida. Fisicamente essas constantes são as condições iniciais (valor da velocidade e da posição no instante inicial escolhido). Na prova, se o enunciado der valores numéricos para v_0 e x_0, você substitui diretamente; se der outro instante inicial, use t_0 e aplique o mesmo procedimento.

Passo 6

Uma forma útil sem referência explícita ao tempo relaciona velocidade e deslocamento. Partimos de \;v=v_0 + a(t-t_0)\; e isolamos (t-t_0):
t-t_0 = \frac{v-v_0}{a}.
Substituímos esse (t-t_0) na expressão do deslocamento x-x_0 = v_0(t-t_0) + \dfrac{a}{2}(t-t_0)^2. Isso dá:
x-x_0 = v_0\left(\frac{v-v_0}{a}\right) + \frac{a}{2}\left(\frac{v-v_0}{a}\right)^2.
Simplificando (faça passo a passo na prova): multiplicando e reduzindo termos obtemos
x-x_0 = \frac{v^2 - v_0^2}{2a}.
Rearranjando, uma forma muito usada é
v^2 = v_0^2 + 2a(x-x_0).
Essa relação é útil quando o tempo não aparece no enunciado e liga velocidade ao deslocamento diretamente.

Passo 7

Pequeno exemplo numérico (pra fixar): se v_0=10\\ \text{m/s}, a=2\\ \text{m/s}^2 e x_0=0 com t_0=0, então
v(t)=10+2t
e
x(t)=0 + 10t + \tfrac{1}{2}\cdot 2 \,t^2 = 10t + t^2.
Se quiser saber a velocidade quando x=30\\ \text{m}, use v^2 = v_0^2 + 2a(x-x_0):
v^2 = 10^2 + 2\cdot 2 \cdot 30 = 100 + 120 = 220 \quad\Rightarrow\quad v=\sqrt{220}\\ \text{m/s}.
Nada mágico: só apliquei as fórmulas que deduzimos.

Resposta

v(t)=v_0 + a\,(t-t_0)
x(t)=x_0 + v_0 (t - t_0) + \frac{a}{2}(t-t_0)^2
v^2 = v_0^2 + 2a(x-x_0)

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