Partindo das relações entre aceleração, velocidade e posição, deduza as equações horárias das velocidades e das posições no MUV (Movimento Uniformemente Variado).
Passo 1
O enunciado pede que, partindo das relações entre aceleração, velocidade e posição, você deduza as equações horárias (ou seja, as funções do tempo) para a velocidade e para a posição em movimento com aceleração constante.
Informações fornecidas (que vamos usar explicitamente):
Informações fornecidas (que vamos usar explicitamente):
- A aceleração é constante; vamos chamar essa constante de
. - Em um instante inicial
a velocidade vale . - Em
a posição vale .
Essas três coisas (constante, e as condições iniciais e ) são os dados que usaremos para obter as equações horárias.
Passo 2
Primeiro, escrevemos as relações matemáticas básicas entre posição, velocidade e aceleração. Essas relações são definições de derivada:
Expliquei: aqui
é a velocidade instantânea no tempo
,
é a posição no tempo
, e
é a aceleração. A igualdade
significa que aceleração é a taxa de variação (derivada) da velocidade em relação ao tempo. Como nos foi dito que a aceleração é constante,
é um número fixo, não depende de
.
Passo 3
Agora integramos a relação
para obter a velocidade como função do tempo. Integração é a operação inversa da derivada; integrar ambos os lados em relação ao tempo dá:
Como
é constante,
. E
é simplesmente
. Portanto obtemos, em forma geral,
Aqui
é uma constante de integração que precisamos determinar com a condição inicial. Usando
substituímos
:
Substituindo
de volta:
Se escolhermos o instante inicial
(o que é usual), a fórmula fica mais simples:
Interpretação física: velocidade varia linearmente no tempo quando a aceleração é constante; a inclinação dessa reta é
.
Passo 4
Agora usamos
e substituímos a expressão encontrada para
para obter a posição. Temos:
Integramos em relação a
:
O lado esquerdo é
(mais uma constante de integração). No lado direito integramos termo a termo:
Calcule a integral
. É
. Assim
Determine
usando
. Substituindo
obtemos
Portanto a equação horária da posição é
Novamente, escolhendo
fica a forma habitual
Explicação: a posição é soma da posição inicial, do deslocamento devido à velocidade inicial (termo linear) e do deslocamento adicional causado pela aceleração (termo quadrático).
Passo 5
Um comentário didático sobre constantes de integração e escolhas de referência: as constantes
e
surgem porque integrar uma derivada sempre deixa uma constante desconhecida. Fisicamente essas constantes são as condições iniciais (valor da velocidade e da posição no instante inicial escolhido). Na prova, se o enunciado der valores numéricos para
e
, você substitui diretamente; se der outro instante inicial, use
e aplique o mesmo procedimento.
Passo 6
Uma forma útil sem referência explícita ao tempo relaciona velocidade e deslocamento. Partimos de
e isolamos
:
Substituímos esse
na expressão do deslocamento
. Isso dá:
Simplificando (faça passo a passo na prova): multiplicando e reduzindo termos obtemos
Rearranjando, uma forma muito usada é
Essa relação é útil quando o tempo não aparece no enunciado e liga velocidade ao deslocamento diretamente.
Passo 7
Pequeno exemplo numérico (pra fixar): se
,
e
com
, então
e
Se quiser saber a velocidade quando
, use
:
Nada mágico: só apliquei as fórmulas que deduzimos.