Considere um capacitor de placas paralelas de área
separadas por uma distância
. O espaço entre as placas é preenchido com um material de constante dielétrica
e resistividade
.
(a) ( 0,5 ponto) Desprezando o efeito das bordas, deduza a expressão que fornece a capacitância deste capacitor.
Dado: o campo entre as placas de um capacitor de placas paralelas no vácuo é
, onde
é a carga na placa positiva.
(b) ( 1,0 ponto) Como o material entre as placas do capacitor não é um isolante perfeito, estabelece-se uma corrente entre elas. Calcule o módulo da densidade de corrente em função de
e
.
(c)
ponto) Escreva a equação diferencial para
. Resolva a equação diferencial com a condição inicial de que a carga na placa positiva no instante
é
.
(a) ( 0,5 ponto) Desprezando o efeito das bordas, deduza a expressão que fornece a capacitância deste capacitor.
(b) ( 1,0 ponto) Como o material entre as placas do capacitor não é um isolante perfeito, estabelece-se uma corrente entre elas. Calcule o módulo da densidade de corrente em função de
(c)
Passo 1
O que o problema pede:
- (a) Deduzir a expressão da capacitância do capacitor de placas paralelas com dielétrico entre as placas, desprezando efeitos de borda.
- (b) Calcular o módulo da densidade de corrente no dielétrico em função de
e . - (c) Escrever a equação diferencial para
e resolver com condição inicial .
Informações e dados fornecidos:
- Placas paralelas de área
separadas por distância . - Espaço entre as placas preenchido por material com constante dielétrica
e resistividade . - Desprezar efeito das bordas.
- Dado do enunciado: o campo elétrico entre as placas no vácuo é
, onde é a carga na placa positiva. - A resposta deve envolver
e conforme solicitado.
Passo 2
Definição de capacitância e relação com diferença de potencial (aulas básicas, passo a passo).
- Capacitância é definida por
, onde é a diferença de potencial entre as placas e a carga na placa positiva. Aqui tem unidades de farad. - Para encontrar
usamos que a diferença de potencial entre placas separadas por distância é o negativo da integral do campo elétrico ao longo do percurso entre as placas. Como o campo é uniforme (desprezando bordas), temos
onde
é o módulo do campo elétrico dentro do dielétrico e
é a distância entre placas.
- Explicando o que muda com o dielétrico: no material linear homogêneo, a permitividade do meio é
. O vetor deslocamento elétrico satisfaz e, para placas com carga livre e área , vale . Assim
- Observação usando o dado: como
é o campo no vácuo, dentro do dielétrico o campo é .
Passo 3
Cálculo da capacitância usando as relações anteriores.
- Calculamos a diferença de potencial:
- Agora aplicamos a definição
:
- Interpretação rápida: o dielétrico aumenta a capacitância por um fator
em relação ao vácuo.
Passo 4
Introdução ao conceito de corrente no dielétrico com resistividade não infinita e cálculo da densidade de corrente (didática).
- Resistividade
é a propriedade do material que relaciona campo elétrico e densidade de corrente por , onde é a condutividade. A condutividade e a resistividade são inversos:
- O módulo da densidade de corrente é
. Usando dentro do dielétrico (do Passo 2),
- Como nos pediram o módulo, escrevemos o resultado positivo:
- Interpretação: maior resistividade reduz a densidade de corrente; maior carga aumenta a corrente proporcionalmente; o efeito do dielétrico aparece no denominador por
.
Passo 5
Equação diferencial para
: ligação entre densidade de corrente, corrente total e taxa de variação de carga.
- A corrente total que atravessa a seção entre as placas é a densidade de corrente vezes a área:
- Essa corrente é a corrente de fuga que retira carga da placa positiva, portanto a taxa de variação da carga é negativa dessa corrente:
- Temos assim a equação diferencial linear de primeira ordem (homogênea) para
.
Passo 6
Resolução da equação diferencial com condição inicial
(passo a passo de solução).
- A equação é separável. Escrevemos
- Integramos ambos os lados: integrar de
a no lado esquerdo e de a no lado direito:
- As integrais dão:
- Isolando
obtemos a solução exponencial:
- Podemos identificar a constante de tempo de descarga
ou seja,
.
Resposta
(a)
(b)
(c)