Considere um capacitor de placas paralelas de área A separadas por uma distância d. O espaço entre as placas é preenchido com um material de constante dielétrica \kappa e resistividade \rho.
(a) ( 0,5 ponto) Desprezando o efeito das bordas, deduza a expressão que fornece a capacitância deste capacitor.
Dado: o campo entre as placas de um capacitor de placas paralelas no vácuo é E_{0}=Q /\left(\epsilon_{0} A\right), onde Q é a carga na placa positiva.
(b) ( 1,0 ponto) Como o material entre as placas do capacitor não é um isolante perfeito, estabelece-se uma corrente entre elas. Calcule o módulo da densidade de corrente em função de \epsilon_{0}, \rho, \kappa, A e Q.
(c) (1,0 ponto) Escreva a equação diferencial para Q(t). Resolva a equação diferencial com a condição inicial de que a carga na placa positiva no instante t=0 é Q_{0}.

Passo 1

O que o problema pede:
  • (a) Deduzir a expressão da capacitância do capacitor de placas paralelas com dielétrico entre as placas, desprezando efeitos de borda.
  • (b) Calcular o módulo da densidade de corrente no dielétrico em função de \epsilon_{0}, \rho, \kappa, A e Q.
  • (c) Escrever a equação diferencial para Q(t) e resolver com condição inicial Q(0)=Q_{0}.
Informações e dados fornecidos:
  • Placas paralelas de área \,A separadas por distância \,d.
  • Espaço entre as placas preenchido por material com constante dielétrica \,\kappa e resistividade \,\rho.
  • Desprezar efeito das bordas.
  • Dado do enunciado: o campo elétrico entre as placas no vácuo é \,E_{0} = \dfrac{Q}{\epsilon_{0} A}, onde Q é a carga na placa positiva.
  • A resposta deve envolver \epsilon_{0}, \rho, \kappa, A e Q conforme solicitado.

Passo 2

Definição de capacitância e relação com diferença de potencial (aulas básicas, passo a passo).
  • Capacitância é definida por \,C = \dfrac{Q}{V}, onde \,V é a diferença de potencial entre as placas e \,Q a carga na placa positiva. Aqui \,C tem unidades de farad.
  • Para encontrar \,V usamos que a diferença de potencial entre placas separadas por distância \,d é o negativo da integral do campo elétrico ao longo do percurso entre as placas. Como o campo é uniforme (desprezando bordas), temos
V = E\,d,
onde E é o módulo do campo elétrico dentro do dielétrico e d é a distância entre placas.
  • Explicando o que muda com o dielétrico: no material linear homogêneo, a permitividade do meio é \,\epsilon = \kappa \epsilon_{0}. O vetor deslocamento elétrico \,D satisfaz \,D = \epsilon E e, para placas com carga livre \,Q e área \,A, vale \,D = \dfrac{Q}{A}. Assim
E = \dfrac{D}{\epsilon} = \dfrac{Q}{\epsilon A} = \dfrac{Q}{\kappa \epsilon_{0} A}.
  • Observação usando o dado: como \,E_{0}=\dfrac{Q}{\epsilon_{0}A} é o campo no vácuo, dentro do dielétrico o campo é \,E = \dfrac{E_{0}}{\kappa}.

Passo 3

Cálculo da capacitância usando as relações anteriores.
  • Calculamos a diferença de potencial:
V = E d = \dfrac{Q}{\kappa \epsilon_{0} A}\, d.
  • Agora aplicamos a definição \,C=\dfrac{Q}{V}:
C = \dfrac{Q}{V} = \dfrac{Q}{\dfrac{Q d}{\kappa \epsilon_{0} A}} = \dfrac{\kappa \epsilon_{0} A}{d}.
  • Interpretação rápida: o dielétrico aumenta a capacitância por um fator \kappa em relação ao vácuo.

Passo 4

Introdução ao conceito de corrente no dielétrico com resistividade não infinita e cálculo da densidade de corrente (didática).
  • Resistividade \,\rho é a propriedade do material que relaciona campo elétrico e densidade de corrente por \, \mathbf{J} = \sigma \mathbf{E}, onde \sigma é a condutividade. A condutividade e a resistividade são inversos:
\sigma = \dfrac{1}{\rho}.
  • O módulo da densidade de corrente é j = \sigma E. Usando E dentro do dielétrico (do Passo 2),
j = \dfrac{1}{\rho}\, \dfrac{Q}{\kappa \epsilon_{0} A}.
  • Como nos pediram o módulo, escrevemos o resultado positivo:
j = \dfrac{Q}{\rho\,\kappa\,\epsilon_{0}\,A}.
  • Interpretação: maior resistividade reduz a densidade de corrente; maior carga aumenta a corrente proporcionalmente; o efeito do dielétrico aparece no denominador por \kappa.

Passo 5

Equação diferencial para Q(t): ligação entre densidade de corrente, corrente total e taxa de variação de carga.
  • A corrente total que atravessa a seção entre as placas é a densidade de corrente vezes a área:
i = j\,A = \left(\dfrac{Q}{\rho\,\kappa\,\epsilon_{0}\,A}\right) A = \dfrac{Q}{\rho\,\kappa\,\epsilon_{0}}.
  • Essa corrente é a corrente de fuga que retira carga da placa positiva, portanto a taxa de variação da carga é negativa dessa corrente:
\dfrac{dQ}{dt} = -i = -\dfrac{Q}{\rho\,\kappa\,\epsilon_{0}}.
  • Temos assim a equação diferencial linear de primeira ordem (homogênea) para Q(t).

Passo 6

Resolução da equação diferencial com condição inicial Q(0)=Q_{0} (passo a passo de solução).
  • A equação é separável. Escrevemos
\dfrac{dQ}{Q} = -\dfrac{dt}{\rho\,\kappa\,\epsilon_{0}}.
  • Integramos ambos os lados: integrar de Q_{0} a Q(t) no lado esquerdo e de 0 a t no lado direito:
\int_{Q_{0}}^{Q(t)} \dfrac{dQ'}{Q'} = -\int_{0}^{t} \dfrac{dt'}{\rho\,\kappa\,\epsilon_{0}}.
  • As integrais dão:
\ln\!\left(\dfrac{Q(t)}{Q_{0}}\right) = -\dfrac{t}{\rho\,\kappa\,\epsilon_{0}}.
  • Isolando Q(t) obtemos a solução exponencial:
Q(t) = Q_{0}\,\exp\!\left(-\dfrac{t}{\rho\,\kappa\,\epsilon_{0}}\right).
  • Podemos identificar a constante de tempo de descarga
\tau = \rho\,\kappa\,\epsilon_{0},
ou seja, Q(t)=Q_{0}e^{-t/\tau}.

Resposta

(a) C=\dfrac{\kappa\,\epsilon_{0}\,A}{d}
(b) j=\dfrac{Q}{\rho\,\kappa\,\epsilon_{0}\,A}
(c) \dfrac{dQ}{dt}=-\dfrac{Q}{\rho\,\kappa\,\epsilon_{0}}
Q(t)=Q_{0}\,\exp\!\left(-\dfrac{t}{\rho\,\kappa\,\epsilon_{0}}\right)

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