( \mathbf{1}, \mathbf{0} \mathbf{~ p t s} ) Um avião está pousando. Dessa forma ele se move num espaço curvo dado pelo seguinte vetor posição,
\vec{r}(t)=R \cos (\omega t) \hat{i}+R \sin (\omega t) \hat{j}+(H-b \omega t) \hat{k}, sendo R=1000 \mathrm{~m}, \omega=1 / 7 \mathrm{~Hz}, H=400 \mathrm{m}, b=H / 6 \pi e t \in[0,42 \pi] \mathrm{s}. Qual é a velocidade do avião no pouso em t=42 \pi s? Você tentaria pousar dessa maneira?

Passo 1

O enunciado dá a posição do avião como
\vec{r}(t)=R\cos(\omega t)\,\hat{i}+R\sin(\omega t)\,\hat{j}+(H-b\omega t)\,\hat{k},
com R=1000\\ \mathrm{m}, \omega=\tfrac{1}{7}\\ \mathrm{s^{-1}}, H=400\\ \mathrm{m}, b=\dfrac{H}{6\pi} e t\in[0,42\pi]\\ \mathrm{s}. Pede-se: qual é a velocidade do avião no pouso, ou seja em t=42\pi\\ \mathrm{s}; e se eu tentaria pousar dessa maneira (opinião/prática).

Passo 2

Para achar a velocidade precisamos derivar \vec{r}(t) em relação a t. Relembrando as derivadas básicas:
\frac{d}{dt}\cos(\omega t)=-\omega\sin(\omega t),\qquad \frac{d}{dt}\sin(\omega t)=\omega\cos(\omega t),
onde \omega é constante em relação a t. Assim a velocidade \vec{v}(t)=\dfrac{d\vec{r}}{dt} é
\vec{v}(t) = -R\omega\sin(\omega t)\,\hat{i} + R\omega\cos(\omega t)\,\hat{j} - b\omega\,\hat{k}.
Expliquei: cada componente é derivada separadamente (regra componente a componente).

Passo 3

Agora avalio em t=42\pi. Calculo primeiro o argumento \omega t:
\omega t = \frac{1}{7}\cdot 42\pi = 6\pi.
Usando identidades trigonométricas conhecidas, \sin(6\pi)=0 e \cos(6\pi)=1.

Passo 4

Substituo em \vec{v}(t). As componentes ficam
v_x=-R\omega\sin(\omega t)=-R\omega\cdot 0 = 0,
v_y=R\omega\cos(\omega t)=R\omega\cdot 1 = R\omega,
v_z=-b\omega.
Agora escrevo b\omega em termos dos dados: b=\dfrac{H}{6\pi} e \omega=\dfrac{1}{7}, então
b\omega=\frac{H}{6\pi}\cdot\frac{1}{7}=\frac{H}{42\pi}=\frac{400}{42\pi}=\frac{200}{21\pi}.
Portanto numericamentes as componentes são
v_x=0,\qquad v_y=\frac{1000}{7}\\ \mathrm{m/s},\qquad v_z=-\frac{200}{21\pi}\\ \mathrm{m/s}.
Aproximações: \dfrac{1000}{7}\approx 142{,}857\\ \mathrm{m/s} e \dfrac{200}{21\pi}\approx 3{,}032\\ \mathrm{m/s}, logo v_z\approx -3{,}032\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

A velocidade escalar (módulo de \vec{v}) é a norma euclidiana:
\|\vec{v}\|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2} =\sqrt{0^2+\left(\frac{1000}{7}\right)^2+\left(-\frac{200}{21\pi}\right)^2}.
Calculo numérico:
\left(\frac{1000}{7}\right)^2=\frac{10^6}{49}\approx 20408{,}163,
\left(\frac{200}{21\pi}\right)^2\approx 3{,}032^2\approx 9{,}192.
Somando e tirando raiz:
\|\vec{v}\|\approx\sqrt{20408{,}163+9{,}192}\approx\sqrt{20417{,}355}\approx 142{,}90\\ \mathrm{m/s}.
Convertendo para km/h ( \times 3{,}6):
142{,}90\\ \mathrm{m/s}\approx 514{,}4\\ \mathrm{km/h}.

Passo 6

Interpretação prática: velocidade de pouso de 142{,}9\\ \mathrm{m/s} ( \approx 514{,}4\\ \mathrm{km/h}) é muito alta para um pouso seguro — bem acima das velocidades típicas de aproximação de aviões comerciais (ordem de 70 80\\ \mathrm{m/s}, dependendo da aeronave). Além disso o movimento horizontal com raio R=1000\\ \mathrm{m} a essa velocidade implica uma trajetória de alta energia e força centrífuga elevada. Portanto, não é um modo de pouso realista nem seguro.

Resposta

142{,}90\\ \mathrm{m/s}\\ (\approx 514{,}4\\ \mathrm{km/h})\nNão — velocidade excessiva para um pouso seguro; impraticável.

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