(
pts) Considere uma partícula de massa
no qual descreve um movimento em formato de uma hélice em coordenadas cartesianas:
e
, sendo omega é frequência angular (ou velocidade angular) e
é um parâmetro constante.
(A) Escreve o vetor posição em coordenadas cartesianas.
(B) Encontre o vetor velocidade da partícula e a velocidade escalar.
(C) Encontre o vetor aceleração da partícula e aceleração escalar.
(D) Encontre o produto escalar entre os vetores velocidade e aceleração. Explique.
e
(A) Escreve o vetor posição em coordenadas cartesianas.
(B) Encontre o vetor velocidade da partícula e a velocidade escalar.
(C) Encontre o vetor aceleração da partícula e aceleração escalar.
(D) Encontre o produto escalar entre os vetores velocidade e aceleração. Explique.
Passo 1
O enunciado dá a trajetória de uma partícula de massa
por coordenadas cartesianas:
onde
,
e
são constantes. As perguntas são:
(A) Escrever o vetor posição em coordenadas cartesianas.
(B) Encontrar o vetor velocidade e a velocidade escalar (módulo da velocidade).
(C) Encontrar o vetor aceleração e a aceleração escalar (módulo da aceleração).
(D) Calcular o produto escalar entre os vetores velocidade e aceleração e explicar o resultado.
(A) Escrever o vetor posição em coordenadas cartesianas.
(B) Encontrar o vetor velocidade e a velocidade escalar (módulo da velocidade).
(C) Encontrar o vetor aceleração e a aceleração escalar (módulo da aceleração).
(D) Calcular o produto escalar entre os vetores velocidade e aceleração e explicar o resultado.
As informações relevantes fornecidas são exatamente as três expressões das coordenadas
,
e
acima e que
,
,
,
são constantes. A resolução começa a partir dessas expressões.
Passo 2
Posso montar o vetor posição
em base cartesiana usando os versores
. Basta combinar as componentes
multiplicadas pelos versores:
Substituindo as funções dadas obtemos
Explicação didática rápida: escrever o vetor posição é só juntar as três coordenadas na forma vetorial padrão.
Passo 3
Agora calculamos a velocidade vetorial
. Regra usada: derivada componente a componente. Lembre-se das derivadas básicas:
Aplicando componente a componente:
Logo
Explicação: apliquei a regra da cadeia nas funções trigonométricas (derivada de
e
) e a derivada de uma função linear em
.
Passo 4
Calculamos a velocidade escalar (módulo de
):
Dentro da raiz somam-se os quadrados:
Uso a identidade trigonométrica
para simplificar os dois primeiros termos:
Observação didática: o resultado não depende de
, ou seja, a velocidade escalar é constante ao longo do tempo.
Passo 5
Calculamos a aceleração vetorial
. Derivando
componente a componente:
Portanto
Podemos escrever de forma compacta usando a parte radial da posição:
Explicação: a componente em
é constante na velocidade, logo não contribui para a aceleração; as componentes
geram a aceleração centrípeta típica de movimento circular.
Passo 6
A aceleração escalar (módulo de
) é
Somando os quadrados e usando
obtemos
Interpretação física/didática: essa é a aceleração centrípeta associada ao movimento circular de raio
e velocidade angular
. Note que é constante e aponta para o eixo (no plano
), sendo perpendicular à componente circular da velocidade.
Passo 7
Calculamos o produto escalar
. Substituindo as componentes:
Isso dá
Explicação e alternativa elegante: em geral
. Como já vimos
é constante, sua derivada é zero logo
.
Interpretação física: aceleração é perpendicular à velocidade — ou seja, não há componente tangencial da aceleração (nenhuma variação do módulo da velocidade), apenas componente normal (centrípeta) que muda a direção da velocidade.
Resposta
(A)
(B)
\
(C)
\
(D)
(a velocidade e a aceleração são ortogonais; não há componente tangencial de aceleração porque o módulo de
é constante)