( \mathbf{1 , 0} pts) Considere uma partícula de massa m no qual descreve um movimento em formato de uma hélice em coordenadas cartesianas: x(t)=R \cos (\omega t), y(t)=R \sin (\omega t)
e z(t)=b \omega t, sendo omega é frequência angular (ou velocidade angular) e b é um parâmetro constante.
(A) Escreve o vetor posição em coordenadas cartesianas.
(B) Encontre o vetor velocidade da partícula e a velocidade escalar.
(C) Encontre o vetor aceleração da partícula e aceleração escalar.
(D) Encontre o produto escalar entre os vetores velocidade e aceleração. Explique.

Passo 1

O enunciado dá a trajetória de uma partícula de massa m por coordenadas cartesianas:
x(t)=R\cos(\omega t),\qquad y(t)=R\sin(\omega t),\qquad z(t)=b\,\omega t,
onde R, \omega e b são constantes. As perguntas são:
(A) Escrever o vetor posição em coordenadas cartesianas.
(B) Encontrar o vetor velocidade e a velocidade escalar (módulo da velocidade).
(C) Encontrar o vetor aceleração e a aceleração escalar (módulo da aceleração).
(D) Calcular o produto escalar entre os vetores velocidade e aceleração e explicar o resultado.
As informações relevantes fornecidas são exatamente as três expressões das coordenadas x(t), y(t) e z(t) acima e que m, R, \omega, b são constantes. A resolução começa a partir dessas expressões.

Passo 2

Posso montar o vetor posição \mathbf{r}(t) em base cartesiana usando os versores \hat{\mathbf{i}},\hat{\mathbf{j}},\hat{\mathbf{k}}. Basta combinar as componentes x(t),y(t),z(t) multiplicadas pelos versores:
\mathbf{r}(t)=x(t)\,\hat{\mathbf{i}}+y(t)\,\hat{\mathbf{j}}+z(t)\,\hat{\mathbf{k}}.
Substituindo as funções dadas obtemos
\mathbf{r}(t)=R\cos(\omega t)\,\hat{\mathbf{i}}+R\sin(\omega t)\,\hat{\mathbf{j}}+b\,\omega t\,\hat{\mathbf{k}}.
Explicação didática rápida: escrever o vetor posição é só juntar as três coordenadas na forma vetorial padrão.

Passo 3

Agora calculamos a velocidade vetorial \mathbf{v}(t)=\dfrac{d\mathbf{r}}{dt}. Regra usada: derivada componente a componente. Lembre-se das derivadas básicas:
\frac{d}{dt}\cos(\omega t)=-\omega\sin(\omega t),\qquad \frac{d}{dt}\sin(\omega t)=\omega\cos(\omega t),\qquad \frac{d}{dt}(b\,\omega t)=b\,\omega.
Aplicando componente a componente:
\mathbf{v}(t)=\frac{d}{dt}\big(R\cos(\omega t)\big)\,\hat{\mathbf{i}}+\frac{d}{dt}\big(R\sin(\omega t)\big)\,\hat{\mathbf{j}}+\frac{d}{dt}\big(b\,\omega t\big)\,\hat{\mathbf{k}}.
Logo
\mathbf{v}(t)=-R\omega\sin(\omega t)\,\hat{\mathbf{i}}+R\omega\cos(\omega t)\,\hat{\mathbf{j}}+b\,\omega\,\hat{\mathbf{k}}.
Explicação: apliquei a regra da cadeia nas funções trigonométricas (derivada de \cos(\omega t) e \sin(\omega t)) e a derivada de uma função linear em t.

Passo 4

Calculamos a velocidade escalar (módulo de \mathbf{v}):
|\mathbf{v}(t)|=\sqrt{\big(-R\omega\sin(\omega t)\big)^2+\big(R\omega\cos(\omega t)\big)^2+\big(b\,\omega\big)^2}.
Dentro da raiz somam-se os quadrados:
|\mathbf{v}(t)|=\sqrt{R^2\omega^2\sin^2(\omega t)+R^2\omega^2\cos^2(\omega t)+b^2\omega^2}.
Uso a identidade trigonométrica \sin^2+\cos^2=1 para simplificar os dois primeiros termos:
|\mathbf{v}(t)|=\sqrt{R^2\omega^2+b^2\omega^2}=\omega\sqrt{R^2+b^2}.
Observação didática: o resultado não depende de t, ou seja, a velocidade escalar é constante ao longo do tempo.

Passo 5

Calculamos a aceleração vetorial \mathbf{a}(t)=\dfrac{d\mathbf{v}}{dt}. Derivando \mathbf{v}(t) componente a componente:
\frac{d}{dt}\big(-R\omega\sin(\omega t)\big)=-R\omega^2\cos(\omega t),
\frac{d}{dt}\big(R\omega\cos(\omega t)\big)=-R\omega^2\sin(\omega t),
\frac{d}{dt}\big(b\,\omega\big)=0.
Portanto
\mathbf{a}(t)=-R\omega^2\cos(\omega t)\,\hat{\mathbf{i}}-R\omega^2\sin(\omega t)\,\hat{\mathbf{j}}+0\,\hat{\mathbf{k}}.
Podemos escrever de forma compacta usando a parte radial da posição:
\mathbf{a}(t)=-R\omega^2\big(\cos(\omega t)\,\hat{\mathbf{i}}+\sin(\omega t)\,\hat{\mathbf{j}}\big).
Explicação: a componente em z é constante na velocidade, logo não contribui para a aceleração; as componentes x,y geram a aceleração centrípeta típica de movimento circular.

Passo 6

A aceleração escalar (módulo de \mathbf{a}) é
|\mathbf{a}(t)|=\sqrt{\big(-R\omega^2\cos(\omega t)\big)^2+\big(-R\omega^2\sin(\omega t)\big)^2+0^2}.
Somando os quadrados e usando \cos^2+\sin^2=1 obtemos
|\mathbf{a}(t)|=R\omega^2.
Interpretação física/didática: essa é a aceleração centrípeta associada ao movimento circular de raio R e velocidade angular \omega. Note que é constante e aponta para o eixo (no plano xy), sendo perpendicular à componente circular da velocidade.

Passo 7

Calculamos o produto escalar \mathbf{v}(t)\cdot\mathbf{a}(t). Substituindo as componentes:
\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}=\big(-R\omega\sin(\omega t)\big)\big(-R\omega^2\cos(\omega t)\big)+\big(R\omega\cos(\omega t)\big)\big(-R\omega^2\sin(\omega t)\big)+\big(b\,\omega\big)\cdot 0.
Isso dá
\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}=R^2\omega^3\big(\sin(\omega t)\cos(\omega t)-\cos(\omega t)\sin(\omega t)\big)=0.
Explicação e alternativa elegante: em geral \mathbf{v}\cdot\mathbf{a}=\dfrac{1}{2}\dfrac{d}{dt}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{v})=\dfrac{1}{2}\dfrac{d}{dt}|\mathbf{v}|^2. Como já vimos |\mathbf{v}|=\omega\sqrt{R^2+b^2} é constante, sua derivada é zero logo \mathbf{v}\cdot\mathbf{a}=0.
Interpretação física: aceleração é perpendicular à velocidade — ou seja, não há componente tangencial da aceleração (nenhuma variação do módulo da velocidade), apenas componente normal (centrípeta) que muda a direção da velocidade.

Resposta

(A) \mathbf{r}(t)=R\cos(\omega t)\,\hat{\mathbf{i}}+R\sin(\omega t)\,\hat{\mathbf{j}}+b\,\omega t\,\hat{\mathbf{k}}
(B) \mathbf{v}(t)=-R\omega\sin(\omega t)\,\hat{\mathbf{i}}+R\omega\cos(\omega t)\,\hat{\mathbf{j}}+b\,\omega\,\hat{\mathbf{k}} \
|\mathbf{v}(t)|=\omega\sqrt{R^{2}+b^{2}}
(C) \mathbf{a}(t)=-R\omega^{2}\cos(\omega t)\,\hat{\mathbf{i}}-R\omega^{2}\sin(\omega t)\,\hat{\mathbf{j}} \
|\mathbf{a}(t)|=R\omega^{2}
(D) \mathbf{v}(t)\cdot\mathbf{a}(t)=0 (a velocidade e a aceleração são ortogonais; não há componente tangencial de aceleração porque o módulo de \mathbf{v} é constante)

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