Considere um capacitor de placas paralelas circulares de raio R=2 cm.
Prove que a corrente de deslocamento de um capacitor de placas paralelas de capacitância C pode ser escrita na forma:
id=C d Vd t
onde V é a diferença de potencial entre as placas.

Passo 1

Beleza, vamos primeiro entender o que o enunciado pede. A gente tem um capacitor de placas paralelas (cada placa é um círculo de raio id ;=; C,dVdt, ) e quer provar que a corrente de deslocamento dele é
onde é a capacitância do capacitor e é a diferença de potencial entre as placas.
Conteúdo: teoria de capacitores (eletrização, ) e conceito de corrente de deslocamento de Maxwell (que empata com a corrente elétrica quando não há condução dentro do dielétrico).

Passo 2

Vamos lembrar da definição de capacitância de um capacitor de placas paralelas.
  1. A capacitância C = QV é a razão entre carga armazenada C = varepsilon Ad e a diferença de potencial :
  2. Para placas circulares de área e separadas por distância num dielétrico de permissividade , dá Aqui a gente só precisa saber que existe essa relação .

Passo 3

Agora, lembrando do conceito de corrente elétrica: se a carga de uma placa varia no tempo, a corrente que chega lá é
i = dQdt
Isso é verdade pra qualquer circuito: corrente é derivada da carga.

Passo 4

No caso do capacitor, não há movimento de elétrons dentro do espaço entre placas (porque tem o dielétrico ou o vácuo), mas Maxwell nos ensinou que existe uma “corrente de deslocamento” id = i = dQdt que preenche esse papel. E, pela conservação de carga, essa corrente de deslocamento vale exatamente a corrente que entra numa placa:

Passo 5

Agora basta juntar tudo:
  1. id = ddt(C,V) = C ,dVdt .
  2. .
    Logo, aplicando a derivada em (supondo constante, isto é, as placas não se movem e o dielétrico não muda):

Resposta

id = C ,dVdt

Exercícios relacionados