Considere um capacitor de placas paralelas circulares de raio
.
Prove que a corrente de deslocamento de um capacitor de placas paralelas de capacitância
pode ser escrita na forma:
onde
é a diferença de potencial entre as placas.
Prove que a corrente de deslocamento de um capacitor de placas paralelas de capacitância
Passo 1
Beleza, vamos primeiro entender o que o enunciado pede. A gente tem um capacitor de placas paralelas (cada placa é um círculo de raio
) e quer provar que a corrente de deslocamento dele é
onde
é a capacitância do capacitor e
é a diferença de potencial entre as placas.
Conteúdo: teoria de capacitores (eletrização, ) e conceito de corrente de deslocamento de Maxwell (que empata com a corrente elétrica quando não há condução dentro do dielétrico).
Conteúdo: teoria de capacitores (eletrização,
Passo 2
Vamos lembrar da definição de capacitância de um capacitor de placas paralelas.
- A capacitância
é a razão entre carga armazenada e a diferença de potencial : - Para placas circulares de área
e separadas por distância num dielétrico de permissividade , dá Aqui a gente só precisa saber que existe essa relação .
Passo 3
Agora, lembrando do conceito de corrente elétrica: se a carga de uma placa varia no tempo, a corrente que chega lá é
Isso é verdade pra qualquer circuito: corrente é derivada da carga.
Passo 4
No caso do capacitor, não há movimento de elétrons dentro do espaço entre placas (porque tem o dielétrico ou o vácuo), mas Maxwell nos ensinou que existe uma “corrente de deslocamento”
que preenche esse papel. E, pela conservação de carga, essa corrente de deslocamento vale exatamente a corrente que entra numa placa:
Passo 5
Agora basta juntar tudo:
-
. -
.
Logo, aplicando a derivada em(supondo constante, isto é, as placas não se movem e o dielétrico não muda):