Considere uma onda senoidal em uma dimensão. Mostre que esta onda se repete após percorrer uma distancia igual ao seu comprimento de onda.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma onda senoidal em uma dimensão e precisa mostrar que ela se repete depois de percorrer uma distância igual ao seu comprimento de onda. Para isso, vamos usar conceitos de ondas, como a função de onda e o comprimento de onda. Bora resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a equação de uma onda senoidal. Geralmente, ela é escrita assim:
Aqui, $ y(x, t) $ é a posição da onda no ponto $ x $ e no tempo $ t $, $ A $ é a amplitude da onda, $ k $ é o número de onda, e $ \omega $ é a frequência angular.
Passo 3
Agora, vamos entender o que é o comprimento de onda ($ \lambda $). O comprimento de onda é a distância entre dois pontos consecutivos que estão na mesma fase da onda, ou seja, duas cristas ou dois vales seguidos. O número de onda $ k $ está relacionado com o comprimento de onda pela fórmula:
Passo 4
Nosso objetivo é mostrar que a onda se repete após percorrer uma distância igual a $ \lambda $. Para isso, vamos analisar a função de onda em $ x + \lambda $:
Substituindo $ k $ por $ \frac{2\pi}{\lambda} $:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da seno:
Sabemos que $ 2\pi $ é um múltiplo inteiro do período da função seno, então:
Isso porque $ \sin(\theta + 2\pi) = \sin(\theta) $.
Passo 6
Então, temos:
Isso mostra que a posição da onda em $ x + \lambda $ e no mesmo instante $ t $ é igual à posição em $ x $ e $ t $.
Resposta
Portanto, a onda senoidal se repete após percorrer uma distância igual ao seu comprimento de onda $ \lambda $.