Considere uma onda senoidal em uma dimensão. Mostre que esta onda se repete após percorrer uma distancia igual ao seu comprimento de onda.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma onda senoidal em uma dimensão e precisa mostrar que ela se repete depois de percorrer uma distância igual ao seu comprimento de onda. Para isso, vamos usar conceitos de ondas, como a função de onda e o comprimento de onda. Bora resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a equação de uma onda senoidal. Geralmente, ela é escrita assim:
y(x, t) = A cdot sin(kx - omega t)
Aqui, $ y(x, t) $ é a posição da onda no ponto $ x $ e no tempo $ t $, $ A $ é a amplitude da onda, $ k $ é o número de onda, e $ \omega $ é a frequência angular.

Passo 3

Agora, vamos entender o que é o comprimento de onda ($ \lambda $). O comprimento de onda é a distância entre dois pontos consecutivos que estão na mesma fase da onda, ou seja, duas cristas ou dois vales seguidos. O número de onda $ k $ está relacionado com o comprimento de onda pela fórmula:
lambda

Passo 4

Nosso objetivo é mostrar que a onda se repete após percorrer uma distância igual a $ \lambda $. Para isso, vamos analisar a função de onda em $ x + \lambda $:
lambda
Substituindo $ k $ por $ \frac{2\pi}{\lambda} $:
x + lambda

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da seno:
2pilambda cdot x + 2pilambda cdot lambda - omega t = 2pi xlambda + 2pi - omega t
Sabemos que $ 2\pi $ é um múltiplo inteiro do período da função seno, então:
2pi
Isso porque $ \sin(\theta + 2\pi) = \sin(\theta) $.

Passo 6

Então, temos:
y(x + lambda, t) = A cdot sin(2pi xlambda - omega t) = y(x, t)
Isso mostra que a posição da onda em $ x + \lambda $ e no mesmo instante $ t $ é igual à posição em $ x $ e $ t $.

Resposta

Portanto, a onda senoidal se repete após percorrer uma distância igual ao seu comprimento de onda $ \lambda $.

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