Considere um capacitor de placas planas e paralelas com capacitância C0 e carga Q0, cuja distância entre as placas é d e, a diferença de potencial entre as placas é V0. Um dielétrico com constante k e espessura d/2, mas de mesma área que as placas do capacitor é introduzido no interior do capacitor de modo que ele fique na metade próxima à placa negativa do capacitor, como mostra a figura. Determine:
a)a nova diferença de potencial entre as placas do capacitor em função de k e V0;
b)a nova capacitância em função de k e C0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um capacitor de placas planas e paralelas com certas características iniciais: capacitância C0, carga Q0, distância entre as placas d e diferença de potencial V0. A gente precisa entender como muda a diferença de potencial e a capacitância quando inserimos um material dielétrico com constante k e espessura d/2 próximo à placa negativa.
Aqui, a matéria principal é Capacitância de Capacitores com Dielétrico. Vamos usar conceitos de capacitância, dielétricos e como eles afetam a diferença de potencial e a capacitância total.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a capacitância de um capacitor sem dielétrico é dada por:
C0 = varepsilon0 Ad
Onde varepsilon0 é a permissividade do vácuo, A é a área das placas e d é a distância entre elas.
Como a carga Q0 é mantida constante, quando adicionamos o dielétrico, a capacitância muda, e isso afeta a diferença de potencial.

Passo 3

Quando inserimos o dielétrico com constante k e espessura d/2, ele ocupa metade do espaço entre as placas. Agora, temos duas regiões: uma com dielétrico e outra sem dielétrico.
A capacitância total pode ser vista como dois capacitores em série:
  1. Capacitor com dielétrico:
    Cd = k varepsilon0 Ad/2 = 2k varepsilon0 Ad
  2. Capacitor sem dielétrico:
    C0' = varepsilon0 Ad/2 = 2 varepsilon0 Ad

Passo 4

Como estão em série, a capacitância total Ctotal é dada por:
1Ctotal = 1Cd + 1C0'
Substituindo os valores:
1Ctotal = 12k varepsilon0 Ad + 12 varepsilon0 Ad = d2k varepsilon0 A + d2 varepsilon0 A = d(1 + k)2k varepsilon0 A
Então:
Ctotal = 2k varepsilon0 Ad(1 + k) = k C01 + k

Passo 5

Agora, vamos encontrar a nova diferença de potencial V entre as placas. Sabemos que a carga Q0 é constante, então:
V = Q0Ctotal
Substituindo Ctotal:
V = Q0k C01 + k = Q0 (1 + k)k C0
E como inicialmente V0 = Q0C0, substituindo:
V = V0 cdot 1 + kk = V0 (1 + 1k)

Resposta

a) A nova diferença de potencial entre as placas é V = V0 (1 + 1k).
b) A nova capacitância é Ctotal = k C01 + k.

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