Um objeto oscila com movimento harmônico simples ao longo do eixo x. Seu deslocamento em relação a origem varia com o tempo de acordo com a equação
x=4 m cdot cos (pi t+pi4)
onde t está em segundos e os ângulos entre parênteses estão em radianos.
© Calcule a posição, a velocidade e a aceleração para t=2 s.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que um objeto faz um movimento harmônico simples (MHS) descrito por
x(t)=4;m,cosl(pi,t+tfracpi4r),,
com em segundos. Na parte © a gente precisa achar a posição , a velocidade e a aceleração no instante ,s.
Conteúdo: é MHS, então
1) posição dada por um cosseno,
2) velocidade é a derivada de ,
3) aceleração é a derivada de .
Vamos usar derivadas de função composta (chain rule) e valores de seno/cosseno em ângulos notáveis.

Passo 2

Calcular a posição em x(t)=4cosl(pi t+tfracpi4r),  s.
A fórmula é
x(2)=4cos!l(picdot2+tfracpi4r) =4cos!l(2pi+tfracpi4r),
Substituindo x(2)=4cosl(tfracpi4r) =4cdotraiz22 =2raiz2;mapprox2,83;m, :
$$x(2)=4\cos!\Bigl(\pi\cdot2+\tfrac{\pi}{4}\Bigr)
=4\cos!\Bigl(2\pi+\tfrac{\pi}{4}\Bigr),. x(2)=4\cos\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)
=4\cdot\frac{\sqrt2}{2}
=2\sqrt2;\mathrm{m}\approx2{,}83;\mathrm{m},. $$

Passo 3

Agora, velocidade v(t)=-4,l[pi;sin(pi t+phi)r] =-4pi,sin(pi t+phi), .
Se v(2)=-4pisin!l(picdot2+tfracpi4r) =-4pisin!l(2pi+tfracpi4r) =-4pisinl(tfracpi4r) =-4picdotraiz22 =-2raiz2,pi;m/s approx-8,89;m/s, , então
No nosso caso . Em :

Passo 4

A aceleração é v(t)=-4pisin(pi t+tfracpi4),. Partindo de
a(t)=-4pi;l[picos(pi t+tfracpi4)r] =-4pi^2cos(pi t+tfracpi4),
derivando:
a(2)=-4pi^2cos!l(2pi+tfracpi4r) =-4pi^2cosl(tfracpi4r) =-4pi^2cdotraiz22 =-2raiz2,pi^2;m/s^2 approx-27,87;m/s^2,
Em :
$$a(2)=-4\pi^2\cos!\Bigl(2\pi+\tfrac{\pi}{4}\Bigr)
=-4\pi^2\cos\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)
=-4\pi^2\cdot\frac{\sqrt2}{2}
=-2\sqrt2,\pi2;\mathrm{m/s2}
\approx-27{,}87;\mathrm{m/s^2},. $$

Resposta

Posição: (≈2,83 m)
Velocidade: (≈−8,89 m/s)
Aceleração: (≈−27,87 m/s²)

Exercícios relacionados