Um objeto oscila com movimento harmônico simples ao longo do eixo x. Seu deslocamento em relação a origem varia com o tempo de acordo com a equação
onde t está em segundos e os ângulos entre parênteses estão em radianos.
© Calcule a posição, a velocidade e a aceleração para
.
© Calcule a posição, a velocidade e a aceleração para
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz que um objeto faz um movimento harmônico simples (MHS) descrito por
com
Conteúdo: é MHS, então
1) posição dada por um cosseno,
2) velocidade é a derivada de
3) aceleração é a derivada de
Vamos usar derivadas de função composta (chain rule) e valores de seno/cosseno em ângulos notáveis.
Passo 2
Calcular a posição em
s.
A fórmula é
A fórmula é
Substituindo
$$x(2)=4\cos!\Bigl(\pi\cdot2+\tfrac{\pi}{4}\Bigr)
=4\cos!\Bigl(2\pi+\tfrac{\pi}{4}\Bigr),. x(2)=4\cos\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)
=4\cdot\frac{\sqrt2}{2}
=2\sqrt2;\mathrm{m}\approx2{,}83;\mathrm{m},. $$
Passo 3
Agora, velocidade
.
Se , então
Se
No nosso caso
. Em
:
Passo 4
A aceleração é
. Partindo de
derivando:
Em
$$a(2)=-4\pi^2\cos!\Bigl(2\pi+\tfrac{\pi}{4}\Bigr)
=-4\pi^2\cos\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)
=-4\pi^2\cdot\frac{\sqrt2}{2}
=-2\sqrt2,\pi2;\mathrm{m/s2}
=-4\pi^2\cdot\frac{\sqrt2}{2}
=-2\sqrt2,\pi2;\mathrm{m/s2}
\approx-27{,}87;\mathrm{m/s^2},. $$
Resposta
Posição:
(≈2,83 m)
Velocidade: (≈−8,89 m/s)
Aceleração: (≈−27,87 m/s²)
Velocidade:
Aceleração: