Duas estrelas de mesma massa M, sujeitas apenas à força gravitacional, estão separadas por uma distância D e giram em torno do centro de massa do sistema. Seja G a constante gravitacional.
Compare o período e a energia mecânica obtidos anteriormente com o período e a energia mecânica da seguinte situação: uma das estrelas está parada e a outra realiza uma órbita circular de raio D/2 em torno dela.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos duas estrelas idênticas de massa separadas por uma distância . Elas só interagem gravitacionalmente e giram em volta do centro de massa. A matéria envolvida é mecânica celeste/gravitação: vamos usar a Lei da Gravitação Universal e a condição de força centrípeta em órbita circular. Precisamos achar o período e a energia mecânica desse sistema de duas massas, e comparar com o caso em que uma estrela fica fixa e a outra orbita a distância .

Passo 2

Resolvendo o sistema com duas massas iguais:
  1. A força gravitacional entre elas é
F = G,M^2D^2,
  1. Cada massa descreve órbita circular de raio F = M,omega^2,(D/2)com;omega = 2piT1, ao redor do centro de massa, então a força centrípeta em cada uma vale
M,omega^2,(D/2);=;G,M^2D^2 Longrightarrow omega^2 = 2G,MD^3,
  1. Igualando as duas:
T1 = 2piomega ;=; 2pi,raizD^32G,M,
Logo
E1 = -G,M^22,aonde;a=D,
  1. A energia mecânica total do sistema (duas massas) é a energia do “problema reduzido”, que para órbita circular vale
E1 = -G,M^22,D,
então

Passo 3

Agora, se uma massa fica fixa e a outra orbita a distância M,omega'^2,r = G,M^2r^2 Longrightarrow omega'^2 = G,Mr^3 = G,M(D/2)^3 = 8,G,MD^3, :
  1. A força centrípeta é
T2 = 2piomega' = 2pi,raiz(D/2)^3G,M =2pi,raizD^38,G,M,
  1. O período dessa órbita é
E2 = -G,M^22,a'com;a'=D/2 ;Longrightarrow; E2 = -G,M^22,(D/2) = -G,M^2D,
  1. A energia mecânica dessa órbita circular (massa fixa + massa em órbita) é

Passo 4

Comparando os resultados:
T1T2 = 2piraizD^3/(2GM)2piraizD^3/(8GM) = raiz82 = 2,
logo E1E2 = -,G,M^2/(2D)-,G,M^2/D = 12, .
E para as energias:
então .

Resposta

Em relação ao caso “uma massa fixa e outra em órbita de raio ”, o sistema de duas massas iguais tem
• Período duas vezes maior: .
• Energia mecânica com metade do valor (em módulo): .

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