Duas estrelas de mesma massa
, sujeitas apenas à força gravitacional, estão separadas por uma distância D e giram em torno do centro de massa do sistema. Seja G a constante gravitacional.
Compare o período e a energia mecânica obtidos anteriormente com o período e a energia mecânica da seguinte situação: uma das estrelas está parada e a outra realiza uma órbita circular de raio D/2 em torno dela.
Compare o período e a energia mecânica obtidos anteriormente com o período e a energia mecânica da seguinte situação: uma das estrelas está parada e a outra realiza uma órbita circular de raio D/2 em torno dela.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos duas estrelas idênticas de massa
separadas por uma distância
. Elas só interagem gravitacionalmente e giram em volta do centro de massa. A matéria envolvida é mecânica celeste/gravitação: vamos usar a Lei da Gravitação Universal e a condição de força centrípeta em órbita circular. Precisamos achar o período
e a energia mecânica
desse sistema de duas massas, e comparar com o caso em que uma estrela fica fixa e a outra orbita a distância
.
Passo 2
Resolvendo o sistema com duas massas iguais:
- A força gravitacional entre elas é
- Cada massa descreve órbita circular de raio
ao redor do centro de massa, então a força centrípeta em cada uma vale
- Igualando as duas:
Logo
- A energia mecânica total do sistema (duas massas) é a energia do “problema reduzido”, que para órbita circular vale
então
Passo 3
Agora, se uma massa fica fixa e a outra orbita a distância
:
- A força centrípeta é
- O período dessa órbita é
- A energia mecânica dessa órbita circular (massa fixa + massa em órbita) é
Passo 4
Comparando os resultados:
logo
.
E para as energias:
então
.
Resposta
Em relação ao caso “uma massa fixa e outra em órbita de raio
”, o sistema de duas massas iguais tem
• Período duas vezes maior:
.
• Energia mecânica com metade do valor (em módulo): .
• Energia mecânica com metade do valor (em módulo):