2-Considere os potenciais \varphi=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{o} r} e \vec{A}=0, referentes ao problema eletrostático de uma carga elétrica pontul q em repouso na origem do sistema de coordenadas. A carga encontra-se no vácui e r denota a distância radial da carga a um ponto genérico. a) Considere que a função \chi(r, t)=\frac{q t}{4 \pi \varepsilon_{o} r} gera uma transformação de gauge. Calcule os novos potenciais \varphi^{\prime} e \vec{A}^{\prime} gerados por esta transformação. b) Quais são os novos campos elétrico \overrightarrow{E^{\prime}} e magnético \overrightarrow{B^{\prime}} associados aos novos potenciais \varphi^{\prime} e \overrightarrow{A^{\prime}}.
Passo 1
O enunciado nos dá os potenciais eletromagnéticos de uma carga pontual q em repouso na origem no vácuo:
onde r é a distância radial até um ponto genérico. Também é dada a função geradora da transformação de gauge
\chi(r,t)=\frac{q\,t}{4\pi\varepsilon_{0}r}.
As perguntas são:
(a) calcular os novos potenciais \varphi' e \vec{A}' gerados por essa transformação de gauge;
(b) calcular os novos campos elétrico \overrightarrow{E'} e magnético \overrightarrow{B'} associados a esses potenciais.
Passo 2
Relembrando a regra de transformação de gauge (sem demonstrar ainda, só a fórmula que usaremos): se fazemos
são inalterados pela transformação (essa invariância será mostrada na prática mais adiante). Aqui, \nabla\chi é o gradiente espacial de \chi e \partial\chi/\partial t a derivada temporal. Vou usar essas fórmulas diretamente para calcular \varphi' e \vec A'.
Passo 3
Calcular \partial\chi/\partial t. A função \chi(r,t) é
\chi(r,t)=\frac{q\,t}{4\pi\varepsilon_{0}r}.
Derivando em relação a t, tratando r como independente de t (a posição espacial é fixa ao derivar no tempo):
Portanto o novo potencial escalar é \varphi'=0. Nota: isso mostra que a transformação tornou o potencial escalar nulo (fora da origem onde r=0 a expressão original é singular).
Passo 4
Calcular \nabla\chi. Como \chi depende apenas de r (e de t), o gradiente espacial em coordenadas esféricas reduz-se a derivada radial multiplicada por \hat r:
\nabla\chi=\frac{\partial\chi}{\partial r}\,\hat r.
\frac{\partial\vec{A}'}{\partial t}=-\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\,\hat r.
Então
-\frac{\partial\vec{A}'}{\partial t}=+\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\,\hat r.
Portanto
\vec{E}'=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\,\hat r.
Esse é exatamente o campo elétrico radial da carga pontual em repouso (mesmo \vec E que tínhamos antes).
Agora \vec{B}'=\nabla\times\vec{A}'. Observação útil (identidade): \vec{A}'=\nabla\chi (pois \vec A=0 e \vec A'=\nabla\chi), e para qualquer campo escalar \chi vale
\nabla\times(\nabla\chi)=0.
Logo
\vec{B}'=0.
Assim os campos resultantes são \vec{E}'=(q/(4\pi\varepsilon_{0}r^{2}))\hat r e \vec{B}'=0.
Passo 6
Resumo didático e verificação da invariância de gauge: usando as fórmulas gerais,
Como derivada parcial temporal e gradiente espacial comutam (para funções suaves), \nabla(\partial_{t}\chi)=\partial_{t}(\nabla\chi), então os termos envolvendo \chi se cancelam, restando \vec{E}'=-\nabla\varphi-\partial_{t}\vec{A}=\vec{E}. De modo análogo \vec{B}'=\nabla\times\vec{A}'=\nabla\times\vec{A}+\nabla\times(\nabla\chi)=\vec{B}. Isso mostra por que a transformação é chamada de gauge: altera os potenciais mas não os campos físicos. No nosso caso particular obtivemos explicitamente \varphi'=0, \vec{A}'=-\dfrac{q t}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\hat r, \vec{E}'=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\hat r e \vec{B}'=0.
Resposta
\displaystyle \varphi'=0 \displaystyle \vec{A}'=-\frac{q\,t}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\,\hat r \displaystyle \vec{E}'=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\,\hat r \displaystyle \vec{B}'=0