Considere uma carga puntual q situada no ponto ( 0,0, a ). Para esta carga, escreva a densidade de carga em termos da função delta de Dirac nos seguintes sistemas de coordenadas:
Coordenadas retangulares rho(x, y, z)
Sugestão: Escreva primeiro a posição da carga nos respectivos sistemas de coordenadas e use o fato de que integral-infty^infty rho(r) d^3 r=q. Se esta ajuda não for ainda o suficiente, veja a solução na página 224 do livro do Kleber Daum Machado, Teoria do Eletromagnetismo (Vol. I).

Passo 1

O enunciado pede a densidade de carga para uma carga pontual q situada em (0,0,a) no sistema de coordenadas retangulares. Vamos usar a representação de densidade pontual em termos da função delta de Dirac e garantir que
integral-infty^infty!!integral-infty^infty!!integral-infty^inftyrho(x,y,z),dx,dy,dz = q

Passo 2

Em coordenadas cartesianas, a posição da carga é
(x0,y0,z0) = (0,0,a)
A densidade de uma carga pontual em r0 é genericamente dada por
rho(r) = q,de<a(x - x0),de<a(y - y0),de<a(z - z0)

Passo 3

Substituindo (x0,y0,z0)=(0,0,a) obtemos
rho(x,y,z) = q,de<a(x),de<a(y),de<a(z - a)

Passo 4

Verificação da normalização:
integral-infty^infty!!integral-infty^infty!!integral-infty^infty q,de<a(x),de<a(y),de<a(z - a),dx,dy,dz = qcdot1cdot1cdot1 = q,
conforme desejado.

Resposta

rho(x,y,z) = q,de<a(x),de<a(y),de<a(z - a)

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