4-Seja um cilindro oco de raio R, comprimento L e carga Q distribuída uniformemente e está centrado na origem do sistema de referência ao longo do eixo z. Por integração direta, obtenha.
a) O potencial elétrico no eixo de simetria no ponto P=(0,0, z) (interior e exterior).
b) O campo elétrico E no eixo de simetria no ponto P=(0,0, z) (interior e exterior). Certifique de que o campo elétrico é derivado de um potencial, isto é, E=-nabla phi.
c) Para um pequeno deslocamento de<a ll R, L na direção do eixo y, calcule o potencial elétrico no ponto P=(0, de<a, z) em primeira ordem do parâmetro de<a.
d) Calcule o campo elétrico E no ponto P=(0, de<a, z) em primeira ordem do parâmetro de<a. Por derivação do item c) certifique da equivalência dos resultados.

Passo 1

O enunciado trata de um cilindro oco (superfície cilíndrica) de raio R, comprimento L e carga total Q distribuída uniformemente sobre a superfície lateral, centrado na origem e alinhado ao eixo z. Vamos usar superposição por anéis elementares para:
  1. calcular o potencial phi(0,0,z) ao longo do eixo ( a),
  2. obter o campo E(0,0,z)=-nablaphi ( b),
  3. expandir o potencial em P=(0,de<a,z), de<all R,L, até ordem de<a ( c),
  4. extrair E(0,de<a,z) por E=-nablaphi e comparar com o cálculo direto ( d).

Passo 2

Dividimos o cilindro em fatias de espessura deta a altura eta, cada fatia é um anel de raio R e carga
dQ=sigma,(2pi R),deta,
onde sigma=Q/(2pi R L). O potencial de um anel no eixo, a distância z-eta de seu plano, é
dphi=14pivarepsilon0,dQraizR^2+(z-eta)^2
Logo
phi(0,0,z) =14pivarepsilon0,sigma(2pi R) integral-L/2^L/2detaraizR^2+(z-eta)^2 =sigma R2varepsilon0 integral-L/2^L/2detaraizR^2+(z-eta)^2

Passo 3

A integral
integraldetaraizR^2+(z-eta)^2 =arsinh!l(z-etaRr)
de eta=-L/2 a L/2
phi(0,0,z) =sigma R2varepsilon0 l[ arsinh!l(tfracz+L/2Rr) -arsinh!l(tfracz-L/2Rr) r]
Substituindo sigma=Q/(2pi R L), chega-se também à forma em logaritmos:
phi(0,0,z) =Q4pivarepsilon0,L ln!z+L/2+raizR^2+(z+L/2)^2z-L/2+raizR^2+(z-L/2)^2

Passo 4

O campo no eixo tem só componente z e vem de
Ez(0,0,z)=-dphidz =-sigma R2varepsilon0 integral-L/2^L/2deta,(z-eta)[R^2+(z-eta)^2]^3/2
Fazendo a integral ou diferenciando a forma em logaritmos, obtém-se
Ez(0,0,z) =Q4pivarepsilon0,L l[ 1raizR^2+(z-L/2)^2 -1raizR^2+(z+L/2)^2 r],
com direção hat z.

Passo 5

Agora em P=(0,de<a,z) temos
phi(0,de<a,z) =sigma R2varepsilon0 integral-L/2^L/2detaraizR^2+de<a^2+(z-eta)^2
Para de<all R,L expandimos
1raizR^2+de<a^2+D^2 approx1raizR^2+D^2 -de<a^22,(R^2+D^2)^3/2, D=z-eta
O termo linear em de<a não aparece, logo, até ordem de<a,
boxedphi(0,de<a,z)=phi(0,0,z)+O(de<a^2)

Passo 6

O campo em P vem de E=-nablaphi. Assim
Ez(0,de<a,z) =-partialphipartial z =;Ez(0,0,z)+O(de<a^2),
enquanto
Ey(0,de<a,z) =-partialphipartial y |y=0,de<a =sigma R2varepsilon0, de<aintegral-L/2^L/2deta[R^2+(z-eta)^2]^3/2 +O(de<a^2)
Substituindo sigma=Q/(2pi R L) obtém-se
boxed Ey(0,de<a,z) =Q,de<a4pivarepsilon0,L integral-L/2^L/2deta[R^2+(z-eta)^2]^3/2 +O(de<a^2),
que coincide exatamente com o cálculo direto da componente radial para pequeno de<a, confirmando E=-nablaphi.

Resposta

a)
phi(0,0,z) =Q4pivarepsilon0,L ln!z+L/2+raizR^2+(z+L/2)^2z-L/2+raizR^2+(z-L/2)^2
b)
Ez(0,0,z) =Q4pivarepsilon0,L l[tfrac1raizR^2+(z-L/2)^2-tfrac1raizR^2+(z+L/2)^2r]hat z
c) phi(0,de<a,z)=phi(0,0,z)+O(de<a^2) (nenhum termo em de<a de primeira ordem).
d)
Ez(0,de<a,z)=Ez(0,0,z)+O(de<a^2), Ey(0,de<a,z) =Q,de<a4pivarepsilon0,L integral-L/2^L/2deta[R^2+(z-eta)^2]^3/2 +O(de<a^2),
obtido tanto por derivada de phi quanto por cálculo direto.

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