4-Seja um cilindro oco de raio , comprimento e carga distribuída uniformemente e está centrado na origem do sistema de referência ao longo do eixo z. Por integração direta, obtenha.
a) O potencial elétrico no eixo de simetria no ponto (interior e exterior).
b) O campo elétrico no eixo de simetria no ponto (interior e exterior). Certifique de que o campo elétrico é derivado de um potencial, isto é, .
c) Para um pequeno deslocamento na direção do eixo y, calcule o potencial elétrico no ponto em primeira ordem do parâmetro .
d) Calcule o campo elétrico no ponto em primeira ordem do parâmetro . Por derivação do item c) certifique da equivalência dos resultados.
Passo 1
O enunciado trata de um cilindro oco (superfície cilíndrica) de raio , comprimento e carga total distribuída uniformemente sobre a superfície lateral, centrado na origem e alinhado ao eixo . Vamos usar superposição por anéis elementares para:
calcular o potencial ao longo do eixo (),
obter o campo (),
expandir o potencial em , , até ordem (),
extrair por e comparar com o cálculo direto ().
Passo 2
Dividimos o cilindro em fatias de espessura a altura , cada fatia é um anel de raio e carga
onde . O potencial de um anel no eixo, a distância de seu plano, é
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Passo 3
A integral
de a dá
Substituindo , chega-se também à forma em logaritmos:
Passo 4
O campo no eixo tem só componente e vem de
Fazendo a integral ou diferenciando a forma em logaritmos, obtém-se