2-Imagine que uma nova e extraordinária medidas precisas revelam que a lei de Coulomb está errada. Neste novo experimento a lei de força de interação (força sobre a carga q2 ) entre duas cargas puntuais é dada por
F=q1 q2r^2(1+rlambda) exp (-r / lambda) widehatr
onde lambda é uma nova constante da natureza e widehatr é o vetor unitário que vai da carga q1 para a carga q2.
a) Qual é o campo elétrico para uma distribuição de carga volumétrica rho(r) para a lei de força expressa acima.
b) A nova lei de força é conservativa? porquê?. Caso seja conservativa, obtenha o potencial elétrico a partir da definição E=-nabla phi.
c) Para uma carga puntual q localizada na origem, mostre a lei de força acima satisfaz a seguinte “lei de Gauus” generalizada.
ointS E cdot d S+1lambda^2 integralV phi(r^prime) d^3 r^prime=4 pi q
onde S é uma superfície, V o volume, de alguma esfera centrada na origem.

Passo 1

O enunciado nos dá uma nova lei de força entre duas cargas puntuais
F=q1q2r^2l(1+rlambdar)e^-r/lambda,widehatr
e pede:
a) o campo elétrico E para uma distribuição volumétrica rho(r),
b) verificar se a lei é conservativa e, em caso afirmativo, obter o potencial phi via E=-nablaphi,
c) para uma carga pontual q na origem, mostrar que vale a “lei de Gauss generalizada”
ointSEcdot dS+1lambda^2integralVphi(r'),d^3r'=4pi q
Vamos usar superposição linear, as propriedades de campos centrais e o teorema da divergência.

Passo 2

Definimos o campo elétrico de uma única carga q em repouso por E=F/q2. Logo, para q1=q em r' e ponto de observação r (com r-r'= R e R=|R|),
E(r)=qR^2l(1+Rlambdar)e^-R/lambda,widehatR,
Pela superposição, para uma densidade volumétrica rho(r') obtemos
E(r)=integral d^3r',rho(r');r-r'|r-r'|^3l(1+|r-r'|lambdar)e^-|r-r'|/lambda,

Passo 3

Como E(r) é radial em torno de cada carga e depende apenas de R=|r-r'|, tem-se
nablatimesE=0,
logo o campo é conservativo e existe phi tal que
E=-nablaphi.
Para uma carga q na origem, escrevemos phi(r) impondo limrtoinftyphi=0 e integrando em r:
phi(r)=-integralinfty^rE(r'),dr' =-integralinfty^rqr'^2l(1+r'lambdar)e^-r'/lambdadr' =q,e^-r/lambdar,
Por superposição, para rho(r') geral:
phi(r)=integral d^3r',rho(r');e^-|r-r'|/lambda|r-r'|,

Passo 4

Aplicando nabla^2 ao potencial encontrado, usa-se que o núcleo de Yukawa satisfaz
l(nabla^2-tfrac1lambda^2r)e^-R/lambdaR=-4pi,de<a^3(R),,
de onde, para distribuição arbitrária rho, segue a equação de Poisson-Helmholtz
nabla^2phi(r)-1lambda^2phi(r)=-4pi,rho(r),

Passo 5

Integramos essa relação sobre um volume V contendo a carga pontual q na origem e usamos teorema da divergência:
integralVnabla^2phi,d^3r =ointSnablaphicdot dS =-ointSEcdot dS,
Logo
-ointSEcdot dS;-;1lambda^2integralVphi,d^3r =,-4piintegralVrho,d^3r =-4pi q,,
e reordenando:
ointSEcdot dS+1lambda^2integralVphi,d^3r =4pi q,,
que é justamente a lei de Gauss generalizada pedida.

Resposta

a)
E(r) =integral d^3r',rho(r'); r-r'|r-r'|^3 l(1+|r-r'|lambdar) e^-|r-r'|/lambda,
b) Sim, nablatimesE=0. O potencial é
phi(r) =integral d^3r',rho(r'); e^-|r-r'|/lambda|r-r'|,,
em particular para carga q na origem phi(r)=q,e^-r/lambda/r.
c) Para q na origem obtém-se
ointSEcdot dS +1lambda^2integralVphi,d^3r =4pi q,,
conforme demonstrado acima.

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