2-Imagine que uma nova e extraordinária medidas precisas revelam que a lei de Coulomb está errada. Neste novo experimento a lei de força de interação (força sobre a carga
) entre duas cargas puntuais é dada por
onde
é uma nova constante da natureza e
é o vetor unitário que vai da carga
para a carga
.
a) Qual é o campo elétrico para uma distribuição de carga volumétrica
para a lei de força expressa acima.
b) A nova lei de força é conservativa? porquê?. Caso seja conservativa, obtenha o potencial elétrico a partir da definição
.
c) Para uma carga puntual
localizada na origem, mostre a lei de força acima satisfaz a seguinte “lei de Gauus” generalizada.
onde
é uma superfície,
o volume, de alguma esfera centrada na origem.
a) Qual é o campo elétrico para uma distribuição de carga volumétrica
b) A nova lei de força é conservativa? porquê?. Caso seja conservativa, obtenha o potencial elétrico a partir da definição
c) Para uma carga puntual
Passo 1
O enunciado nos dá uma nova lei de força entre duas cargas puntuais
e pede:
a) o campo elétrico para uma distribuição volumétrica
,
b) verificar se a lei é conservativa e, em caso afirmativo, obter o potencial via
,
c) para uma carga pontual na origem, mostrar que vale a “lei de Gauss generalizada”
a) o campo elétrico
b) verificar se a lei é conservativa e, em caso afirmativo, obter o potencial
c) para uma carga pontual
Vamos usar superposição linear, as propriedades de campos centrais e o teorema da divergência.
Passo 2
Definimos o campo elétrico de uma única carga
em repouso por
. Logo, para
em
e ponto de observação
(com
e
),
Pela superposição, para uma densidade volumétrica
obtemos
Passo 3
Como
é radial em torno de cada carga e depende apenas de
, tem-se
,
logo o campo é conservativo e existe tal que
.
logo o campo é conservativo e existe
Para uma carga
na origem, escrevemos
impondo
e integrando em
:
Por superposição, para
geral:
Passo 4
Aplicando
ao potencial encontrado, usa-se que o núcleo de Yukawa satisfaz
de onde, para distribuição arbitrária
, segue a equação de Poisson-Helmholtz
Passo 5
Integramos essa relação sobre um volume
contendo a carga pontual
na origem e usamos teorema da divergência:
Logo
e reordenando:
que é justamente a lei de Gauss generalizada pedida.
Resposta
a)
b) Sim,
. O potencial é
em particular para carga
na origem
.
c) Para na origem obtém-se
c) Para
conforme demonstrado acima.