Considere uma carga q , distante d do centro de uma esfera condutora que está aterrada, e encontre a densidade de carga superficial induzida.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a densidade de carga superficial induzida na superfície de uma esfera condutora aterrada, causada por uma carga pontual
colocada a uma distância
do centro da esfera. Informações relevantes que temos: a esfera tem raio
(vou chamar de
, pois o enunciado não deu o raio explicitamente), a carga pontual está no exterior da esfera, isto é assumimos
, e a esfera está aterrada (potencial da superfície igual a zero). O que precisa ser entregue: a função
, densidade superficial induzida em cada ponto da esfera, onde
é o ângulo polar medido a partir da linha que liga o centro da esfera à carga
.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática): para uma esfera condutora aterrada é clássico usar o método das cargas imagem. A ideia é substituir a esfera por uma carga imagem dentro dela, de modo que a soma do potencial gerado pela carga real
(externa) e pela carga imagem
(no interior) seja zero em toda a superfície da esfera. Essa construção nos dá o potencial correto na região externa e, a partir dele, o campo elétrico logo fora da superfície, que nos dá a densidade superficial
por
(campo radial imediatamente fora da superfície). Vou colocar a carga
no eixo
no ponto
; a imagem ficará também nesse eixo, no ponto
, com carga
. Nosso objetivo primeiro é achar
e
que garantam
para todo
.
Passo 3
Escrever o potencial e impor a condição de contorno: o potencial em um ponto externo devido a duas cargas pontuais (uma em
com carga
e outra em
com carga
) é
Queremos
para todo
. Isso dá
Para que essa igualdade seja válida para todo
é conveniente escolher
de modo que as duas raízes sejam proporcionais; uma escolha clássica (e que funciona) é
Mostro a relação entre as raízes: definindo
temos com
que
Substituindo em
obtemos
o que implica
Portanto a carga imagem está em
e sua magnitude é
. Essa escolha garante
na superfície
.
Passo 4
Cálculo do campo radial imediatamente fora da superfície e da densidade
: o campo radial (com componente na direção normal à superfície) é dado por
Calculemos
de um termo genérico
, com
. Temos
Aplicando isso aos dois termos de
e lembrando que
, obtemos, para
,
onde
e
são avaliados em
. Substituímos
e
. Agora usamos a relação
e a identidade
Com essas relações transformamos o segundo termo:
Assim
No último passo as parcelas em
se cancelam; reorganizando o numerador temos
. Portanto
A densidade superficial induceida é
, então
Note que, para
,
— ou seja se
a densidade induzida é negativa, como esperado fisicamente.
Passo 5
Cheque rápido (consistência física): podemos verificar que a carga total induzida
dá exatamente a carga imagem
. Um cálculo direto (integrando
sobre a esfera usando
e a substituição
) leva a
o que confirma a coerência da densidade encontrada.