Considere uma carga q , distante d do centro de uma esfera condutora que está aterrada, e encontre a densidade de carga superficial induzida.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a densidade de carga superficial induzida na superfície de uma esfera condutora aterrada, causada por uma carga pontual q colocada a uma distância d do centro da esfera. Informações relevantes que temos: a esfera tem raio R (vou chamar de R, pois o enunciado não deu o raio explicitamente), a carga pontual está no exterior da esfera, isto é assumimos d>R, e a esfera está aterrada (potencial da superfície igual a zero). O que precisa ser entregue: a função \sigma(\theta), densidade superficial induzida em cada ponto da esfera, onde \theta é o ângulo polar medido a partir da linha que liga o centro da esfera à carga q.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): para uma esfera condutora aterrada é clássico usar o método das cargas imagem. A ideia é substituir a esfera por uma carga imagem dentro dela, de modo que a soma do potencial gerado pela carga real q (externa) e pela carga imagem q' (no interior) seja zero em toda a superfície da esfera. Essa construção nos dá o potencial correto na região externa e, a partir dele, o campo elétrico logo fora da superfície, que nos dá a densidade superficial \sigma por \sigma=\varepsilon_{0} E_{r} (campo radial imediatamente fora da superfície). Vou colocar a carga q no eixo z no ponto z=d; a imagem ficará também nesse eixo, no ponto z=b, com carga q'. Nosso objetivo primeiro é achar b e q' que garantam V(R,\theta)=0 para todo \theta.

Passo 3

Escrever o potencial e impor a condição de contorno: o potencial em um ponto externo devido a duas cargas pontuais (uma em z=d com carga q e outra em z=b com carga q') é
V(r,\theta)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left(\frac{q}{\sqrt{r^{2}+d^{2}-2rd\cos\theta}}+\frac{q'}{\sqrt{r^{2}+b^{2}-2rb\cos\theta}}\right).
Queremos V(R,\theta)=0 para todo \theta. Isso dá
\frac{q}{\sqrt{R^{2}+d^{2}-2Rd\cos\theta}}+\frac{q'}{\sqrt{R^{2}+b^{2}-2Rb\cos\theta}}=0\quad\text{para todo }\theta.
Para que essa igualdade seja válida para todo \theta é conveniente escolher b de modo que as duas raízes sejam proporcionais; uma escolha clássica (e que funciona) é
b=\frac{R^{2}}{d}.
Mostro a relação entre as raízes: definindo
s(\theta)=\sqrt{R^{2}+d^{2}-2Rd\cos\theta}, \qquad s'(\theta)=\sqrt{R^{2}+b^{2}-2Rb\cos\theta},
temos com b=R^{2}/d que
s'(\theta)=\frac{R}{d}\,s(\theta).
Substituindo em V(R,\theta)=0 obtemos
\frac{q}{s(\theta)}+\frac{q'}{(R/d)\,s(\theta)}=\frac{1}{s(\theta)}\left(q+\frac{d}{R}q'\right)=0,
o que implica
q+\frac{d}{R}q'=0 \quad\Rightarrow\quad q'=-\frac{qR}{d}.
Portanto a carga imagem está em z=b=R^{2}/d e sua magnitude é q'=-qR/d. Essa escolha garante V=0 na superfície r=R.

Passo 4

Cálculo do campo radial imediatamente fora da superfície e da densidade \sigma: o campo radial (com componente na direção normal à superfície) é dado por
E_{r}(r,\theta)=-\frac{\partial V}{\partial r}.
Calculemos \partial/\partial r de um termo genérico 1/s, com s=\sqrt{r^{2}+r_{0}^{2}-2rr_{0}\cos\theta}. Temos
\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{1}{s}\right)=-\frac{1}{s^{2}}\frac{\partial s}{\partial r}=-\frac{1}{s^{2}}\cdot\frac{r-r_{0}\cos\theta}{s}=-\frac{r-r_{0}\cos\theta}{s^{3}}.
Aplicando isso aos dois termos de V e lembrando que E_{r}=-\partial V/\partial r, obtemos, para r=R,
E_{r}(R,\theta)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left(\frac{q\bigl(R-d\cos\theta\bigr)}{s^{3}}+\frac{q'\bigl(R-b\cos\theta\bigr)}{s'^{3}}\right),
onde s e s' são avaliados em r=R. Substituímos q'=-qR/d e b=R^{2}/d. Agora usamos a relação s'=(R/d)s e a identidade
R-b\cos\theta=R-\frac{R^{2}}{d}\cos\theta=\frac{R}{d}\bigl(d-R\cos\theta\bigr).
Com essas relações transformamos o segundo termo:
\frac{q'\bigl(R-b\cos\theta\bigr)}{s'^{3}} = -\frac{qR}{d}\cdot\frac{\dfrac{R}{d}\bigl(d-R\cos\theta\bigr)}{\left(\dfrac{R}{d}\right)^{3}s^{3}} = -q\frac{d}{R}\cdot\frac{\bigl(d-R\cos\theta\bigr)}{s^{3}}.
Assim
E_{r}(R,\theta)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\left(\frac{R-d\cos\theta}{s^{3}}-\frac{d}{R}\cdot\frac{d-R\cos\theta}{s^{3}}\right) =\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{\;R-\dfrac{d^{2}}{R}\;}{s^{3}}.
No último passo as parcelas em \cos\theta se cancelam; reorganizando o numerador temos R-\dfrac{d^{2}}{R}=\dfrac{R^{2}-d^{2}}{R}. Portanto
E_{r}(R,\theta)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{R^{2}-d^{2}}{R\,s^{3}}, \qquad \text{com } s(\theta)=\sqrt{R^{2}+d^{2}-2Rd\cos\theta}.
A densidade superficial induceida é \sigma(\theta)=\varepsilon_{0}E_{r}(R,\theta), então
\sigma(\theta)=\frac{q}{4\pi}\cdot\frac{R^{2}-d^{2}}{R\,\bigl(R^{2}+d^{2}-2Rd\cos\theta\bigr)^{3/2}}.
Note que, para d>R, R^{2}-d^{2}<0 — ou seja se q>0 a densidade induzida é negativa, como esperado fisicamente.

Passo 5

Cheque rápido (consistência física): podemos verificar que a carga total induzida Q_{\text{ind}}=\int_{\text{superf}} \sigma\,dA dá exatamente a carga imagem q'=-qR/d. Um cálculo direto (integrando \sigma(\theta) sobre a esfera usando dA=R^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi e a substituição u=R^{2}+d^{2}-2Rd\cos\theta) leva a
Q_{\text{ind}}=q'=-\frac{qR}{d},
o que confirma a coerência da densidade encontrada.

Resposta

\sigma(\theta)=\frac{q}{4\pi}\,\frac{R^{2}-d^{2}}{R\bigl(R^{2}+d^{2}-2Rd\cos\theta\bigr)^{3/2}}.

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