Um fio reto esticado a uma altura de 5 metros, paralelo a superfície da Terra tem uma densidade linear de carga
, e tem 200 metros de comprimento. Qual é o campo elétrico na superfície da Terra abaixo do fio? Qual a força que o fio sofre? Para campos estacionários, a Terra comporta-se como um bom condutor.
Passo 1
O enunciado dá um fio reto, paralelo ao solo, com as seguintes informações:
(densidade linear de carga),
comprimento ,
altura em relação à superfície da Terra .
Perguntas: (1) qual é o campo elétrico na superfície da Terra imediatamente abaixo do fio? (2) qual é a força que o fio sofre (devido à Terra / cargas induzidas)?
Observações dadas pelo enunciado que vamos usar: para campos estacionários a Terra se comporta como um bom condutor (superfície condutora plana e extensa).
comprimento
altura em relação à superfície da Terra
Perguntas: (1) qual é o campo elétrico na superfície da Terra imediatamente abaixo do fio? (2) qual é a força que o fio sofre (devido à Terra / cargas induzidas)?
Observações dadas pelo enunciado que vamos usar: para campos estacionários a Terra se comporta como um bom condutor (superfície condutora plana e extensa).
Passo 2
Ideia física e método que vamos usar (explicação didática, sem pular etapas): uma superfície condutora plana e aterrada impõe potencial nulo na superfície. A forma prática e elegante de resolver problemas com uma carga próxima a um plano condutor é o método das imagens: substituímos a superfície condutora por uma carga “imagem” do outro lado do plano, de modo que a soma dos potenciais das cargas reais e da(s) imagem(s) seja zero sobre o plano. Para um fio linear com carga positiva acima de um plano condutor aterrada, a imagem é um fio idem, simétrico em relação ao plano, com densidade linear oposta (
). Assim, o campo no exterior (acima do plano) é o mesmo que o campo gerado pelo par fio real
e fio imagem
.
Vamos então calcular o campo produzido por um fio finito de comprimento
, no ponto situado na linha perpendicular que passa pelo centro do fio, a uma distância
do eixo do fio. Depois aplicamos isso duas vezes (real + imagem).
Configuração geométrica para o cálculo: coloque o fio ao longo do eixo
, centrado em
, com
. O ponto onde queremos o campo está no eixo
a uma distância
do eixo do fio (no nosso caso, para o ponto na superfície abaixo do fio,
). Pelo simetria, o campo tem só componente radial (perpendicular ao fio), apontando do fio para o ponto (no nosso caso, vertical).
Passo 3
Cálculo do campo de um fio finito a uma distância
do seu centro (derivação integral, passo a passo):
Considere um elemento de carga
localizado em
. A distância entre esse elemento e o ponto de interesse é
O módulo do campo gerado pelo elemento é, pela lei de Coulomb,
A componente do campo na direção radial (a única não anulada por simetria) é
, onde
. Então
Integramos
de
a
:
A primitiva da função é conhecida (ou pode ser obtida por substituição trigonométrica):
Aplicando os limites
e simplificando obtemos a forma fechada (fazendo as contas):
Verificação rápida de consistência: para
essa expressão tende a
, que é o campo do fio infinito. Excelente.
Passo 4
Campo na superfície da Terra diretamente abaixo do fio:
Ponto: na superfície, logo abaixo do fio real, a distância do ponto ao eixo do fio real é
. Pelo método das imagens, o campo total fora do condutor é a soma do campo do fio real (com
) e do fio imagem (com
) simétrico em relação ao plano. Para o ponto exatamente sobre o plano e abaixo do fio, as contribuições verticalmente estão no mesmo sentido (ambas dirigidas para baixo), e têm o mesmo módulo (as distâncias ao fio real e à imagem são ambas
). Assim o módulo do campo total é o dobro do módulo produzido por um dos fios calculado acima.
Usando a expressão do passo anterior com
:
Então
Agora substituímos os valores numéricos. Valores usados:
,
,
,
.
Calcule primeiro
.
Substituindo:
Substituindo:
Direção: para baixo (isto é, a componente normal ao plano aponta em direção ao interior da Terra).
Passo 5
Cálculo da força que o fio sofre (passo a passo, integral exata):
A força total sobre o fio real é a interação com a distribuição de cargas induzidas no condutor — pelo método das imagens isso equivale à força entre o fio real e seu fio imagem (com densidade
) separado por uma distância vertical
. Vamos calcular a força total (componente vertical) por integração dupla e reduzir a uma integral simples.
Força (módulo) entre dois elementos
(do fio real) e
(do fio imagem) separados por
tem contribuição vertical
onde
é a separação entre os eixos. Somando sobre os comprimentos dos dois fios obtemos a integral dupla; usando a técnica de convolução (reduzindo a integral dupla a uma integral única com mudança de variável
) chega-se ao resultado fechado (mostro o passo chave rapidamente):
Efetuando essa integral (substituição trigonométrica e integração por partes) obtém-se a expressão fechada
No nosso caso
, portanto
O sinal negativo indica que a força é atrativa (direcionada para o plano — ou seja, para baixo). O módulo é
Passo 6
Substituição numérica para a força:
Dados:
,
,
,
.
Calcule
.
Então
Então
Direção: para baixo (atração para a Terra). Também útil: força por unidade de comprimento média