Situação do cotidiano

Considere uma molécula de oxigênio girando no plano xy em torno do eixo z. O eixo passa pelo centro da molécula, perpendicular ao seu comprimento. A massa de cada átomo de oxigênio é m=2,66 \times 10^{-26} \mathrm{~kg}. À temperatura ambiente a separação média entre os dois átomos é d=1,21 \times 10^{-10} \mathrm{~m} (os átomos são tratados como massas pontuais).
a)Calcule o momento de inércia da molécula em relação ao eixo z.
b)Se a velocidade angular da molécula em torno do eixo z é 4,60 \times 10^{12} \mathrm{rad} / \mathrm{s}, qual é sua energia cinética rotacional?

Passo 1

O enunciado dá uma molécula diatômica de oxigênio com as seguintes informações (tudo o que o problema fornece):
  • massa de cada átomo: m=2,66\times10^{-26}\\ \mathrm{kg};
  • separação média entre os átomos: d=1,21\times10^{-10}\\ \mathrm{m};
  • o eixo z passa pelo centro da molécula e é perpendicular ao comprimento da molécula (ou seja, atravessa o ponto médio entre os átomos);
  • velocidade angular em torno do eixo z: \omega=4,60\times10^{12}\\ \mathrm{rad/s}.
O que o enunciado pede:
a) calcular o momento de inércia da molécula em relação ao eixo z;
b) calcular a energia cinética rotacional da molécula para a velocidade angular dada.

Passo 2

Entendimento geométrico (onde estão as massas em relação ao eixo): como o eixo passa pelo ponto médio entre os dois átomos e os átomos estão separados por d, cada átomo está a uma distância
r=\frac{d}{2}
do eixo. Vou usar esse r para calcular o momento de inércia.

Passo 3

Fórmula do momento de inércia para massas pontuais: se temos várias massas pontuais m_i a distâncias r_i do eixo, o momento de inércia é
I=\sum_i m_i r_i^2,
onde cada termo m_i r_i^2 significa: massa vezes o quadrado da distância ao eixo (isso mede “quanto” aquela massa contribui para a resistência à rotação).
No nosso caso há duas massas iguais m ambas a distância r. Então
I=2\,m\,r^2.
Substituindo r=\dfrac{d}{2} obtemos
I=2\,m\left(\frac{d}{2}\right)^2 = 2\,m\frac{d^2}{4} = \frac{m d^2}{2}.
Essa é a expressão que vamos avaliar numericamente.

Passo 4

Cálculo numérico do momento de inércia passo a passo.
Primeiro calcule o quadrado da separação:
d^2=(1,21\times10^{-10})^2=1,4641\times10^{-20}.
Agora multiplico por m e divido por 2:
I=\frac{m d^2}{2}=\frac{2,66\times10^{-26}\times 1,4641\times10^{-20}}{2}.
Faço a multiplicação das mantissas: 2,66\times 1,4641 = 3,894506, e somo os expoentes: -26 + (-20) = -46. Assim antes de dividir por 2 temos 3,894506\times10^{-46}. Dividindo por 2
I=1,947253\times10^{-46}\\ \mathrm{kg\cdot m^2}.
Arredondando para três algarismos significativos:
I \approx 1,95\times10^{-46}\\ \mathrm{kg\cdot m^2}.

Passo 5

Fórmula da energia cinética rotacional e o que cada símbolo significa: para um corpo rígido rotacionando com velocidade angular \omega,
K=\frac{1}{2}I\omega^2,
onde K é a energia em joules, I é o momento de inércia (em \mathrm{kg\cdot m^2}) e \omega é a velocidade angular (em \mathrm{rad/s}). Observação: radiano é adimensional, então as unidades fecham para joules.

Passo 6

Cálculo numérico da energia cinética rotacional.
Primeiro a potência de \omega:
\omega^2=(4,60\times10^{12})^2=21,16\times10^{24}=2,116\times10^{25}.
Agora calculo I\omega^2 usando o I não arredondado para maior precisão:
I\omega^2 = 1,947253\times10^{-46}\times 2,116\times10^{25} = 4,120387\times10^{-21}.
Finalmente, a energia:
K=\frac{1}{2}I\omega^2=\frac{1}{2}\times 4,120387\times10^{-21}=2,0601935\times10^{-21}\\ \mathrm{J}.
Arredondando para três algarismos significativos:
K \approx 2,06\times10^{-21}\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Checagem rápida e comentário final: o valor de I é muito pequeno porque as massas são muito pequenas e as distâncias atômicas também. A energia rotacional também é muito pequena — faz sentido para movimento molecular. Se você duplicasse a distância d, note que I aumentaria com d^2 (dobrar d multiplica I por 4) — é útil para estimar tendências sem refazer toda conta. Força você tá indo bem — respira, esses cálculos são só aritmética com física básica.

Resposta

I \approx 1,95\times10^{-46}\\ \mathrm{kg\cdot m^2}
K \approx 2,06\times10^{-21}\\ \mathrm{J}

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