Situação do cotidiano
Considere uma molécula de oxigênio girando no plano xy em torno do eixo z. O eixo passa pelo centro da molécula, perpendicular ao seu comprimento. A massa de cada átomo de oxigênio é
. À temperatura ambiente a separação média entre os dois átomos é
(os átomos são tratados como massas pontuais).
a)Calcule o momento de inércia da molécula em relação ao eixo
.
b)Se a velocidade angular da molécula em torno do eixo z é
, qual é sua energia cinética rotacional?
a)Calcule o momento de inércia da molécula em relação ao eixo
b)Se a velocidade angular da molécula em torno do eixo z é
Passo 1
O enunciado dá uma molécula diatômica de oxigênio com as seguintes informações (tudo o que o problema fornece):
- massa de cada átomo:
; - separação média entre os átomos:
; - o eixo
passa pelo centro da molécula e é perpendicular ao comprimento da molécula (ou seja, atravessa o ponto médio entre os átomos); - velocidade angular em torno do eixo
: .
O que o enunciado pede:
a) calcular o momento de inércia da molécula em relação ao eixo ;
b) calcular a energia cinética rotacional da molécula para a velocidade angular dada.
a) calcular o momento de inércia da molécula em relação ao eixo
b) calcular a energia cinética rotacional da molécula para a velocidade angular dada.
Passo 2
Entendimento geométrico (onde estão as massas em relação ao eixo): como o eixo passa pelo ponto médio entre os dois átomos e os átomos estão separados por
, cada átomo está a uma distância
do eixo. Vou usar esse
para calcular o momento de inércia.
Passo 3
Fórmula do momento de inércia para massas pontuais: se temos várias massas pontuais
a distâncias
do eixo, o momento de inércia é
onde cada termo
significa: massa vezes o quadrado da distância ao eixo (isso mede “quanto” aquela massa contribui para a resistência à rotação).
No nosso caso há duas massas iguais
ambas a distância
. Então
Substituindo
obtemos
Essa é a expressão que vamos avaliar numericamente.
Passo 4
Cálculo numérico do momento de inércia passo a passo.
Primeiro calcule o quadrado da separação:
Agora multiplico por
e divido por
:
Faço a multiplicação das mantissas:
, e somo os expoentes:
. Assim antes de dividir por 2 temos
. Dividindo por
dá
Arredondando para três algarismos significativos:
Passo 5
Fórmula da energia cinética rotacional e o que cada símbolo significa: para um corpo rígido rotacionando com velocidade angular
,
onde
é a energia em joules,
é o momento de inércia (em
) e
é a velocidade angular (em
). Observação: radiano é adimensional, então as unidades fecham para joules.
Passo 6
Cálculo numérico da energia cinética rotacional.
Primeiro a potência de
:
Agora calculo
usando o
não arredondado para maior precisão:
Finalmente, a energia:
Arredondando para três algarismos significativos:
Passo 7
Checagem rápida e comentário final: o valor de
é muito pequeno porque as massas são muito pequenas e as distâncias atômicas também. A energia rotacional também é muito pequena — faz sentido para movimento molecular. Se você duplicasse a distância
, note que
aumentaria com
(dobrar
multiplica
por 4) — é útil para estimar tendências sem refazer toda conta. Força você tá indo bem — respira, esses cálculos são só aritmética com física básica.