Considere uma carga +q a uma distância d de um plano condutor horizontal. Calcule a força que ela sofre. Considere o plano com dimensões muito maiores que d. Qual a energia do sistema?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
  • Informação 1: há uma carga pontual de valor \;q>0\; localizada a uma distância \;d\; de um plano condutor horizontal. (Vou tomar esse plano como o plano \;z=0\; e a carga em \;z=d.)
  • Informação 2: o plano tem dimensões muito maiores que \;d\; (podemos tratá‑lo como efetivamente infinito na prática do problema).
  • Pergunta A: Calcular a força que a carga sofre devido à presença do plano condutor.
  • Pergunta B: Calcular a energia do sistema (energia eletrostática associada à carga e ao condutor).

Passo 2

Estratégia (explicada didaticamente): vamos usar o método das cargas imagem. Ideia intuitiva: o condutor imposto como superfície equipotencial modifica o campo elétrico como se houvesse, do outro lado do plano, uma carga “imagem” que produz o mesmo efeito no espaço onde a carga real está. Para o caso clássico de uma carga q a uma distância d de um plano condutor perfeito mantido ao potencial zero (plano aterrado), a solução que satisfaz as condições de contorno é equivalente a ter, no espaço abaixo do plano, uma carga imagem -q localizada na posição espelhada (z=-d).
Explicando por que isso funciona (sem pular etapas): a condição no condutor aterrado é que o potencial elétrico na superfície seja zero. Considere a soma dos potenciais da carga real e da carga imagem; no ponto qualquer da superfície z=0 (com coordenadas (x,y,0)) a distância até a carga real é igual à distância até a imagem (ambas igual a \sqrt{x^2+y^2+d^2}), logo os potenciais se cancelam porque as cargas têm sinais opostos. Assim a soma dos potenciais vale zero na superfície, satisfazendo a condição. Por isso, no espaço acima do plano a configuração do campo é idêntica ao campo que a carga real veria na presença do condutor.
Observação prática: estou assumindo que o plano é mantido a potencial zero (aterrado). Se o problema pedisse explícito “plano neutro isolado”, haveria uma pequena diferença (apareceria uma constante adicional de potencial), mas para a forma usual e para o resultado da força e energia quando o plano é muito grande, a imagem -q é a construção correta usada em provas.

Passo 3

Calcular a força usando a carga imagem: como o campo no espaço z>0 é o mesmo que o campo criado pela carga real +q e pela carga imagem -q em z=-d, podemos calcular a força sobre a carga real aplicando a lei de Coulomb entre as duas cargas pontuais (real e imagem).
Definições e fórmula que usaremos:
  • Constante de Coulomb \displaystyle k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}.
  • Lei de Coulomb (módulo da força entre duas cargas puntuais q_1 e q_2 separadas por distância r): \displaystyle F=\dfrac{k\,|q_1 q_2|}{r^2}.
  • Aqui q_1=q (real) e q_2=-q (imagem); a distância entre elas é 2d.
Aplicando:
  • Módulo da força
F_{\text{mód}}=\dfrac{k\,|q\cdot(-q)|}{(2d)^2} =\dfrac{k\,q^2}{4d^2}.ó
  • Substituindo k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}:
F_{\text{mód}}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\dfrac{q^2}{4d^2} =\dfrac{1}{16\pi\varepsilon_0}\cdot\dfrac{q^2}{d^2}.ó
Direção (sinal): como a carga imagem tem sinal oposto, a força é atrativa, isto é, aponta em direção ao plano. Se definirmos unidade \hat{z} apontando para cima (do plano para a carga), a força vetorial sobre a carga real é
\mathbf{F}=-\dfrac{1}{16\pi\varepsilon_0}\dfrac{q^2}{d^2}\,\hat{z},
o sinal negativo indicando que a força é para baixo (para o plano).

Passo 4

Calcular a energia do sistema por integração do trabalho (método didático que evita confusões com fatores 1/2): a energia potencial eletrostática U(d) associada a colocar a carga em z=d pode ser obtida integrando o trabalho necessário para trazer a carga lentamente do infinito até d contra a força atrativa. Usamos a expressão da força em função da posição x (distância ao plano):
Para uma posição genérica x (distância da carga ao plano), a força atrativa tem módulo
F(x)=\dfrac{1}{16\pi\varepsilon_0}\dfrac{q^2}{x^2},
e o sentido é para o plano (negativo em relação à direção \hat{z}). A energia potencial com referência U(\infty)=0 é
U(d)= -\int_{\infty}^{d} F_{\text{(escala com sinal)}}(x)\,dx.
Como F_{\text{vet}}(x)=-F(x)\,\hat{z} e usamos a coordenada escalar x positiva para cima, temos F_{\text{esc}}(x)= -F(x). Então
U(d)= -\int_{\infty}^{d} \big(-F(x)\big)\,dx = \int_{\infty}^{d} F(x)\,dx.
Fazendo a integral:
U(d)=\int_{\infty}^{d} \dfrac{1}{16\pi\varepsilon_0}\dfrac{q^2}{x^2}\,dx =\dfrac{1}{16\pi\varepsilon_0}q^2\int_{\infty}^{d} x^{-2}\,dx.
Calcule a integral \int_{\infty}^{d} x^{-2}\,dx = \left[ -\dfrac{1}{x} \right]_{\infty}^{d} = -\dfrac{1}{d} - (0) = -\dfrac{1}{d}. Portanto
U(d)=\dfrac{1}{16\pi\varepsilon_0}q^2\left(-\dfrac{1}{d}\right) =-\dfrac{1}{16\pi\varepsilon_0}\dfrac{q^2}{d}.
Interpretação física: energia negativa significa que o sistema está ligado (a carga é atraída pelo condutor); equivalentemente, se soltarmos a carga, ela libera energia mecânica. Observação alternativa (curiosidade didática): a energia encontrada é igual à metade da energia de interação direta entre a carga e sua imagem (a energia entre cargas q e -q separadas por 2d seria -\dfrac{1}{8\pi\varepsilon_0}\dfrac{q^2}{d}); o fator 1/2 aparece porque a carga imagem não é real — ela representa a distribuição induzida no condutor — e a energia total do sistema condutor+carga é metade daquela interação fictícia.

Resposta

\displaystyle \mathbf{F}=-\dfrac{1}{16\pi\varepsilon_0}\dfrac{q^2}{d^2}\,\hat{z}\n \displaystyle U=-\dfrac{1}{16\pi\varepsilon_0}\dfrac{q^2}{d}

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