Considere uma carga
a uma distância
de um plano condutor horizontal. Calcule a força que ela sofre. Considere o plano com dimensões muito maiores que
. Qual a energia do sistema?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
- Informação 1: há uma carga pontual de valor
localizada a uma distância de um plano condutor horizontal. (Vou tomar esse plano como o plano e a carga em .) - Informação 2: o plano tem dimensões muito maiores que
(podemos tratá‑lo como efetivamente infinito na prática do problema). - Pergunta A: Calcular a força que a carga sofre devido à presença do plano condutor.
- Pergunta B: Calcular a energia do sistema (energia eletrostática associada à carga e ao condutor).
Passo 2
Estratégia (explicada didaticamente): vamos usar o método das cargas imagem. Ideia intuitiva: o condutor imposto como superfície equipotencial modifica o campo elétrico como se houvesse, do outro lado do plano, uma carga “imagem” que produz o mesmo efeito no espaço onde a carga real está. Para o caso clássico de uma carga
a uma distância
de um plano condutor perfeito mantido ao potencial zero (plano aterrado), a solução que satisfaz as condições de contorno é equivalente a ter, no espaço abaixo do plano, uma carga imagem
localizada na posição espelhada
.
Explicando por que isso funciona (sem pular etapas): a condição no condutor aterrado é que o potencial elétrico na superfície seja zero. Considere a soma dos potenciais da carga real e da carga imagem; no ponto qualquer da superfície
(com coordenadas
) a distância até a carga real é igual à distância até a imagem (ambas igual a
), logo os potenciais se cancelam porque as cargas têm sinais opostos. Assim a soma dos potenciais vale zero na superfície, satisfazendo a condição. Por isso, no espaço acima do plano a configuração do campo é idêntica ao campo que a carga real veria na presença do condutor.
Observação prática: estou assumindo que o plano é mantido a potencial zero (aterrado). Se o problema pedisse explícito “plano neutro isolado”, haveria uma pequena diferença (apareceria uma constante adicional de potencial), mas para a forma usual e para o resultado da força e energia quando o plano é muito grande, a imagem
é a construção correta usada em provas.
Passo 3
Calcular a força usando a carga imagem: como o campo no espaço
é o mesmo que o campo criado pela carga real
e pela carga imagem
em
, podemos calcular a força sobre a carga real aplicando a lei de Coulomb entre as duas cargas pontuais (real e imagem).
Definições e fórmula que usaremos:
- Constante de Coulomb
. - Lei de Coulomb (módulo da força entre duas cargas puntuais
e separadas por distância ): . - Aqui
(real) e (imagem); a distância entre elas é .
Aplicando:
- Módulo da força
- Substituindo
:
Direção (sinal): como a carga imagem tem sinal oposto, a força é atrativa, isto é, aponta em direção ao plano. Se definirmos unidade
apontando para cima (do plano para a carga), a força vetorial sobre a carga real é
o sinal negativo indicando que a força é para baixo (para o plano).
Passo 4
Calcular a energia do sistema por integração do trabalho (método didático que evita confusões com fatores 1/2): a energia potencial eletrostática
associada a colocar a carga em
pode ser obtida integrando o trabalho necessário para trazer a carga lentamente do infinito até
contra a força atrativa. Usamos a expressão da força em função da posição
(distância ao plano):
Para uma posição genérica
(distância da carga ao plano), a força atrativa tem módulo
e o sentido é para o plano (negativo em relação à direção
). A energia potencial com referência
é
Como
e usamos a coordenada escalar
positiva para cima, temos
. Então
Fazendo a integral:
Calcule a integral
Portanto
Interpretação física: energia negativa significa que o sistema está ligado (a carga é atraída pelo condutor); equivalentemente, se soltarmos a carga, ela libera energia mecânica. Observação alternativa (curiosidade didática): a energia encontrada é igual à metade da energia de interação direta entre a carga e sua imagem (a energia entre cargas
e
separadas por
seria
); o fator
aparece porque a carga imagem não é real — ela representa a distribuição induzida no condutor — e a energia total do sistema condutor+carga é metade daquela interação fictícia.