Considere uma carga q1=-4,8 times 10^-19 C localizada em x=0 e uma carga q2=-8,0 times 10^-19 C localizada em x=L. A que distância da carga q1 devemos colocar um próton para que a força resultante sobre ele seja nula?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre duas cargas elétricas: q1=-4,8 times 10^-19 C na posição x=0 e q2=-8,0 times 10^-19 C na posição x=L. A gente precisa descobrir a que distância da carga q1 deve colocar um próton para que a força total sobre ele seja zero. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Coulomb, que nos ajuda a calcular a força entre duas cargas elétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Coulomb, que diz que a força elétrica entre duas cargas é dada por:
F = k |q1 q2|r^2
onde:
  • F é a força entre as cargas,
  • k é a constante de Coulomb ( 8,99 times 10^9 , N cdot m²/C²²²),
  • q1 e q2 são as cargas,
  • r é a distância entre elas.
No nosso caso, temos duas forças agindo sobre o próton: uma devido a q1 e outra devido a q2. Queremos que a soma dessas forças seja zero.

Passo 3

Vamos chamar a distância que o próton deve estar de q1 de x. Assim, a distância do próton até q2 será L + x (já que q2 está na posição L).
As forças são:
  • Força de q1 sobre o próton:
F1 = k |q1 cdot qp|x^2
  • Força de q2 sobre o próton:
F2 = k |q2 cdot qp|(L + x)^2
Queremos que F1 = F2 para que as forças se cancelem.

Passo 4

Igualando as duas expressões:
k |q1 cdot qp|x^2 = k |q2 cdot qp|(L + x)^2
Podemos simplificar k e qp dos dois lados:
|q1|x^2 = |q2|(L + x)^2
Substituindo os valores das cargas:
4,8 times 10^-19x^2 = 8,0 times 10^-19(L + x)^2
Podemos simplificar ainda mais eliminando 10^-19:
4,8x^2 = 8,0(L + x)^2

Passo 5

Agora, vamos resolver para x:
Multiplicando cruzado:
4,8 cdot (L + x)^2 = 8,0 cdot x^2
Dividindo ambos os lados por 4,8:
(L + x)^2 = 8,04,8 x^2 Rightarrow (L + x)^2 = 1,6667 , x^2
Expandindo o lado esquerdo:
L^2 + 2Lx + x^2 = 1,6667 , x^2
Rearranjando:
L^2 + 2Lx + x^2 - 1,6667 , x^2 = 0 Rightarrow L^2 + 2Lx - 0,6667 , x^2 = 0
Multiplicando tudo por 3 para facilitar:
3L^2 + 6Lx - 2x^2 = 0
Organizando:
2x^2 - 6Lx - 3L^2 = 0
Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
x = 6L pm raiz(6L)^2 + 24L^24 = 6L pm raiz36L^2 + 24L^24 = 6L pm raiz60L^24 = 6L pm raiz60L4
A raiz positiva faz sentido fisicamente, então:
x = 6L + raiz60L4 = 6 + raiz604L approx 6 + 7,7464L = 13,7464L approx 3,4365 , L

Resposta

O próton deve ser colocado a aproximadamente 3,44 , L da carga q1 para que a força resultante sobre ele seja nula.

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