Uma lancha a motor cruza as margens de um rio e se move a 10 km / h quando a água está parada. A correnteza de um rio tem uma velocidade de 5 km / h na direção oeste. O piloto deseja atravessar o rio da margem sul para um ponto diametralmente oposto na margem norte. Para que direção deve apontar a proa da lancha? E com módulo de velocidade a lancha estará movendo em relação à terra?
A) 27^circ a leste do norte (saindo do norte e indo pro leste); 11,2 km / h.
B) 30^circ a leste do norte; 8,7 km / h.
C) 45^circ a leste do norte; 15 km / h.
D) 60^circ a leste do norte; 14,2 km / h.
E) Depende da largura do rio.

Passo 1

Vamos resolver um problema de movimento relativo envolvendo uma lancha que atravessa um rio com correnteza. O enunciado nos diz que a lancha tem velocidade de 10 km/h em relação à água parada e que a correnteza do rio está indo para oeste a 5 km/h. Queremos descobrir para qual direção o piloto deve apontar a lancha para chegar exatamente ao ponto oposto na margem norte e também qual será a velocidade da lancha em relação à terra.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a lancha tem duas velocidades a considerar: a velocidade própria da lancha em relação à água ($ \vec{V}{lancha/água} Vlancha/água çãà \vec{V}{água/terra} Vágua/terra çãà \vec{V}_{lancha/terra} $) é a soma vetorial dessas duas velocidades.

Passo 3

O objetivo é que a lancha chegue diretamente ao ponto oposto na margem norte, o que significa que a componente oeste da velocidade da correnteza deve ser anulada pela componente leste da velocidade da lancha. Ou seja, a lancha deve apontar um pouco para leste para compensar a correnteza que leva a lancha para oeste.

Passo 4

Vamos chamar o ângulo que a lancha faz com a direção norte de $ \theta $. A velocidade da lancha pode ser decomposta em duas componentes:
  • Componente norte: $ V_{lancha} \cdot \cos(\theta) $
  • Componente leste: $ V_{lancha} \cdot \sin(\theta) $
Para que a lancha chegue diretamente ao norte, a componente leste da velocidade da lancha deve ser igual à velocidade da correnteza:
theta á
Vlancha cdot cos(theta)
Vlancha cdot sin(theta)
Vlancha cdot sin(theta) = Vágua/terra

Passo 5

Agora, para encontrar a velocidade da lancha em relação à terra ($ V_{lancha/terra} $), usamos a componente norte da velocidade da lancha:
Vlancha/terra
Vlancha/terra = Vlancha cdot cos(theta)
Sabendo que $ \cos(30^{\circ}) \approx 0,8660 $:
Vlancha/terra = 10 cdot cos(30^circ)
cos(30^circ) approx 0,8660
Arredondando, a velocidade é de aproximadamente 8,7 km/h.

Resposta

B) 30^circ a leste do norte; 8,7 km / h.

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