Uma partícula de carga
está localizada em
, e uma partícula de carga
está localizada em
. Qual deve ser a razão
para que a força sobre uma partícula de carga
seja nula (a) se a partícula 3 estiver em
; (b) se a partícula 3 estiver no ponto
? Nos dois casos determine a partir de considerações física se os sinais de
e
são iguais ou opostos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. Temos três partículas carregadas:
- Partícula 1: carga $ q_1 $ localizada em $ x = -2L $.
- Partícula 2: carga $ q_2 $ localizada em $ x = +2L $.
- Partícula 3: carga $ q_3 $ que vai estar em uma posição específica, seja $ x = +L $ ou $ x = +3L $.
O objetivo é descobrir qual deve ser a razão $ \frac{q_1}{q_2} $ para que a força total sobre a partícula 3 seja nula. Além disso, vamos determinar se as cargas $ q_1 $ e $ q_2 $ têm sinais iguais ou opostos com base nessas condições.
Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei de Coulomb, que descreve a força entre duas cargas elétricas. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Lei de Coulomb. Ela nos diz que a força $ F $ entre duas cargas é dada por:
Onde:
- $ k_e $ é a constante eletrostática ($ 8,99 \times 10^9 , N\cdotm2/\text{C}2 $),
- $ q_1 $ e $ q_2 $ são as cargas,
- $ r $ é a distância entre as cargas.
A direção da força depende dos sinais das cargas:
- Se as cargas tiverem sinais iguais, elas se repelem.
- Se tiverem sinais opostos, elas se atraem.
Passo 3
Vamos começar com a parte (a) do exercício: quando a partícula 3 está em $ x = +L $.
Posicionamento:
- $ q_1 $ em $ x = -2L $,
- $ q_2 $ em $ x = +2L $,
- $ q_3 $ em $ x = +L $.
Agora, vamos calcular as distâncias:
- Distância entre $ q_1 $ e $ q_3 $: $ r_{13} = L - (-2L) = 3L $.
- Distância entre $ q_2 $ e $ q_3 $: $ r_{23} = 2L - L = L $.
Passo 4
Aplicando a Lei de Coulomb, as forças exercidas por $ q_1 $ e $ q_2 $ sobre $ q_3 $ são:
Queremos que a força total sobre $ q_3 $ seja nula, ou seja:
Passo 5
Considerando as direções das forças:
- Se $ q_1 $ e $ q_3 $ tiverem sinais iguais, $ F_{13} $ será para longe de $ q_1 $.
- Se $ q_2 $ e $ q_3 $ tiverem sinais iguais, $ F_{23} $ será para longe de $ q_2 $.
Para que as forças se anulem, elas devem ter direções opostas. Então, uma deve atrair e a outra repelir $ q_3 $, o que significa que $ q_1 $ e $ q_2 $ têm sinais opostos.
Passo 6
Agora, igualamos as magnitudes das forças para que se anulem:
Substituindo as expressões:
Podemos simplificar $ k_e $ e $ q_3 $ (assumindo que $ q_3 \neq 0 $):
Passo 7
Resolvendo para $ \frac{q_1}{q_2} $:
Como $ q_1 $ e $ q_2 $ têm sinais opostos (para que as forças se anulem), a razão fica:
Resposta
(a) Para que a força sobre $ q_3 $ seja nula quando ela está em $ x = +L $, a razão $ \frac{q_1}{q_2} $ deve ser igual a -9. Além disso, $ q_1 $ e $ q_2 $ possuem sinais opostos.