Considere uma carteira numa seguradora com mil apólices em que a taxa anual de sinistros é 0.005 por apólice. Calcule a probabilidade de que, nessa carteira, sejam processados dez sinistros em dois anos.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz assim: temos 1000 apólices numa seguradora, cada apólice tem taxa anual de sinistros de 0,005. Queremos a probabilidade de exatamente 10 sinistros em dois anos.
Conteúdo: probabilidade discreta – distribuição Binomial e sua aproximação pela Poisson. Vamos precisar saber:
  1. Como reunir os dados num único modelo (quantos “testes” e qual probabilidade em cada)
  2. Quando e como usar a aproximação de Poisson
  3. Calcular nessa Poisson

Passo 2

Primeiro, quantos “testes” temos e qual a chance de sinistro em cada um?
  • Cada apólice vigora 2 anos, e a taxa é 0,005 por ano → em 2 anos cada apólice tem .
  • São 1000 apólices independentes → seria um Binomial com e .
    Alternativamente, você pode pensar em 2000 “apólice-ano” com , ou seja e . É a mesma coisa.

Passo 3

Calcular direto o Binomial ( ) dá um trabalhão com combinações enormes.
Mas quando é grande e é pequeno, dá para usar a distribuição de Poisson como aproximação:
se e grande, pequeno, então com .

Passo 4

Calcular lambda = n,p = 1000times0,01 = 10 :
Logo, .

Passo 5

Fórmula da Poisson para P(X=k) = e^-lambda,lambda^kk! ocorrências:
P(X=10) = e^-10,10^1010!
Aqui queremos , :

Resposta

boxedP(X=10)approx e^-10,10^1010!approx0,1251

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