Considere uma carteira numa seguradora com mil apólices em que a taxa anual de sinistros é 0.005 por apólice. Calcule a probabilidade de que, nessa carteira, sejam processados dez sinistros em dois anos.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz assim: temos 1000 apólices numa seguradora, cada apólice tem taxa anual de sinistros de 0,005. Queremos a probabilidade de exatamente 10 sinistros em dois anos.
Conteúdo: probabilidade discreta – distribuição Binomial e sua aproximação pela Poisson. Vamos precisar saber:
Conteúdo: probabilidade discreta – distribuição Binomial e sua aproximação pela Poisson. Vamos precisar saber:
- Como reunir os dados num único modelo (quantos “testes” e qual probabilidade em cada)
- Quando e como usar a aproximação de Poisson
- Calcular
nessa Poisson
Passo 2
Primeiro, quantos “testes” temos e qual a chance de sinistro em cada um?
- Cada apólice vigora 2 anos, e a taxa é 0,005 por ano → em 2 anos cada apólice tem
. - São 1000 apólices independentes → seria um Binomial com
e .
Alternativamente, você pode pensar em 2000 “apólice-ano” com, ou seja e . É a mesma coisa.
Passo 3
Calcular direto o Binomial (
) dá um trabalhão com combinações enormes.
Mas quando é grande e
é pequeno, dá para usar a distribuição de Poisson como aproximação:
se e
grande,
pequeno, então
com
.
Mas quando
se
Passo 4
Calcular
:
Logo,
.
Passo 5
Fórmula da Poisson para
ocorrências:
Aqui queremos
,
: