Se o processo de contagem N(t) ; t >= 0 é um processo de Poisson com taxa lambda=2. Calcule P[N(5)-N(2)=3 ; N(7)-N(6)=4].

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que Pl[N(5)-N(2)=3,;N(7)-N(6)=4r] é um processo de Poisson com taxa . A pergunta é:
Calcular
O conteúdo aqui é processo de Poisson: a gente vai usar duas coisas principais
  1. Incrementos independentes: eventos em intervalos disjuntos não “conversam” entre si;
  2. Distribuição de Poisson em cada incremento: .

Passo 2

Primeiro, reconhece que os incrementos nos intervalos P[A;e;B] ;=;P[A];P[B], e A=N(5)-N(2)=3, B=N(7)-N(6)=4 são disjuntos, logo são independentes. Então
onde

Passo 3

Agora vamos achar a distribuição de cada incremento:
  • No intervalo N(5)-N(2)simPois(lambdacdot 3)=Pois(2cdot3=6) a largura é N(7)-N(6)simPois(lambdacdot 1)=Pois(2cdot1=2) , logo
  • No intervalo a largura é , logo

Passo 4

Escrevendo as probabilidades:
P[N(5)-N(2)=3] = e^-6,6^33!, P[N(7)-N(6)=4] = e^-2,2^44!

Passo 5

Como são independentes, multiplica:
P[dots] = l(e^-6,6^33!r)timesl(e^-2,2^44!r) = e^-8,6^33!,2^44!
Basta simplificar:
6^33! = 2166=36, 2^44! = 1624=23,
então
P = e^-8times 36times23 = e^-8times 24

Resposta

boxedP[N(5)-N(2)=3,;N(7)-N(6)=4] = 24,e^-8

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