Considere uma carteira numa seguradora com mil apólices em que a taxa anual de sinistros é 0.005 por apólice. Calcule a probabilidade de que ocorram, nessa carteira, pelo menos três sinistros em um anos.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o enunciado pede e ver o que vai precisar.
Enunciado: tem uma seguradora com 1000 apólices, cada apólice tem probabilidade de sinistro anual de 0,005. Queremos a probabilidade de ter pelo menos 3 sinistros em um ano.
Conteúdo: distribuição de probabilidade (binomial) e aproximação pela distribuição de Poisson.
O que vamos usar:
Enunciado: tem uma seguradora com 1000 apólices, cada apólice tem probabilidade de sinistro anual de 0,005. Queremos a probabilidade de ter pelo menos 3 sinistros em um ano.
Conteúdo: distribuição de probabilidade (binomial) e aproximação pela distribuição de Poisson.
O que vamos usar:
- Noção de variável aleatória binomial – conta quantos “sucessos” (sinistros) ocorrem em
tentativas (apólices). - Como
é grande e é pequeno, vamos aproximar a binomial por uma Poisson com parâmetro . - Fórmula da Poisson e cálculo da probabilidade complementar.
Passo 2
Definindo a variável aleatória original:
.
Mas calcular diretamente na binomial dá um trabalhão numérico.
Teoria da aproximação:
Quando é grande e
é pequeno, a binomial se aproxima de
Mas calcular
Teoria da aproximação:
Quando
Aqui
.
Logo podemos usar para aproximar
.
Logo podemos usar
Passo 3
Agora, para a Poisson com parâmetro
, a probabilidade de
eventos é
Queremos
E
Calculando cada termo:
Somando:
Passo 4
Agora é só colocar em números:
então
Logo
Resposta
A probabilidade de ocorrerem pelo menos 3 sinistros é aproximadamente