Considere uma carteira numa seguradora com mil apólices em que a taxa anual de sinistros é 0.005 por apólice. Calcule a probabilidade de que ocorram, nessa carteira, pelo menos três sinistros em um anos.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o enunciado pede e ver o que vai precisar.
Enunciado: tem uma seguradora com 1000 apólices, cada apólice tem probabilidade de sinistro anual de 0,005. Queremos a probabilidade de ter pelo menos 3 sinistros em um ano.
Conteúdo: distribuição de probabilidade (binomial) e aproximação pela distribuição de Poisson.
O que vamos usar:
  1. Noção de variável aleatória binomial – conta quantos “sucessos” (sinistros) ocorrem em tentativas (apólices).
  2. Como é grande e é pequeno, vamos aproximar a binomial por uma Poisson com parâmetro .
  3. Fórmula da Poisson e cálculo da probabilidade complementar.

Passo 2

Definindo a variável aleatória original:
Ysim Poisson(lambda), lambda = n,p.
Mas calcular diretamente na binomial dá um trabalhão numérico.
Teoria da aproximação:
Quando é grande e é pequeno, a binomial se aproxima de
Aqui .
Logo podemos usar para aproximar .

Passo 3

Agora, para a Poisson com parâmetro P(Y=k) = lambda^k e^-lambdak!, a probabilidade de P(X>=3)approx P(Y>=3) = 1 - P(Y<=2) eventos é
P(Y<=2) = P(Y=0) + P(Y=1) + P(Y=2)
Queremos
P(Y=0) = 5^0 e^-50! = e^-5,
E
P(Y=1) = 5^1 e^-51! = 5e^-5,
Calculando cada termo:
P(Y=2) = 5^2 e^-52! = 252,e^-5 = 12.5,e^-5
P(Y<=2) = e^-5l(1 + 5 + 12.5r) = 18.5,e^-5
Somando:

Passo 4

Agora é só colocar em números:
e^-5approx 0.0067379,
então
P(Y<=2) approx 18.5 times 0.0067379 approx 0.1247
Logo
P(Y>=3) = 1 - P(Y<=2) approx 1 - 0.1247 = 0.8753

Resposta

A probabilidade de ocorrerem pelo menos 3 sinistros é aproximadamente
boxed0.8753 (ou 87,53%)

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