Uma seguradora dará um brinde a cada décimo terceiro cliente que adquirirem um determinado produto. Se o número de clientes que adquirirem o produto segue um processo de Poisson com taxa
. Determine a f.d.p. do tempo entre os clientes que ganharam o brinde.
Passo 1
Resumo do enunciado: uma seguradora atende clientes que chegam segundo um processo de Poisson com taxa λ>0 e dá um brinde a cada décimo terceiro cliente. Precisamos achar a densidade de probabilidade do tempo entre dois clientes que ganham o brinde.
Conteúdo: processo de Poisson, tempos entre chegadas exponenciais, soma de variáveis exponenciais → distribuição Erlang (ou Gama).
Conteúdo: processo de Poisson, tempos entre chegadas exponenciais, soma de variáveis exponenciais → distribuição Erlang (ou Gama).
Passo 2
Num processo de Poisson de taxa λ, cada intervalo entre chegadas é uma variável aleatória
com densidade
Isso vem da propriedade de memória‐livre e do fato de que número de chegadas em Δt segue Poisson.
Passo 3
O tempo entre clientes que recebem o brinde equivale ao tempo entre a chegada do cliente de ordem 13j e a do cliente de ordem 13(j+1). Isso é a soma de 13 intervalos exponenciais independentes:
Soma de
exponenciais idênticas com mesma λ tem distribuição Erlang (ou Gama) de parâmetros
e λ.
Passo 4
A densidade de uma Erlang/Gama com forma
e escala
(ou taxa λ) é
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