Uma seguradora dará um brinde a cada décimo terceiro cliente que adquirirem um determinado produto. Se o número de clientes que adquirirem o produto segue um processo de Poisson com taxa lambda>0. Determine a f.d.p. do tempo entre os clientes que ganharam o brinde.

Passo 1

Resumo do enunciado: uma seguradora atende clientes que chegam segundo um processo de Poisson com taxa λ>0 e dá um brinde a cada décimo terceiro cliente. Precisamos achar a densidade de probabilidade do tempo entre dois clientes que ganham o brinde.
Conteúdo: processo de Poisson, tempos entre chegadas exponenciais, soma de variáveis exponenciais → distribuição Erlang (ou Gama).

Passo 2

Num processo de Poisson de taxa λ, cada intervalo entre chegadas é uma variável aleatória fXi(t)=lambda e^-lambda t, t>=0 com densidade
Isso vem da propriedade de memória‐livre e do fato de que número de chegadas em Δt segue Poisson.

Passo 3

O tempo entre clientes que recebem o brinde equivale ao tempo entre a chegada do cliente de ordem 13j e a do cliente de ordem 13(j+1). Isso é a soma de 13 intervalos exponenciais independentes:
T = X1 + X2 + cdots + X13
Soma de exponenciais idênticas com mesma λ tem distribuição Erlang (ou Gama) de parâmetros e λ.

Passo 4

A densidade de uma Erlang/Gama com forma fT(t) =lambda^k,t^,k-1,e^-lambda t(k-1)!, t>=0 e escala fT(t) =lambda^13,t^12,e^-lambda t12!, t>=0 (ou taxa λ) é
Aqui , logo

Resposta

boxedfT(t)=lambda^13,t^12,e^-lambda t12!, t>=0

Exercícios relacionados