O tempo decorrido entre o k-ésimo e (
)-ésimo sinistros processados por uma seguradora, representado por
, tem distribuição exponencial com f.d.p. dada por
O tempo é mensurado em intervalos de 30 minutos. Calcule a probabilidade de que pelo menos um será processado nas próximas cinco horas.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que o tempo entre sinistros
é Exponencial com densidade
o que significa que a taxa (λ) é 0.1 por “unidade” de 30 min. A matéria aqui é Distribuição Exponencial (e, se quiser, Processo de Poisson). Para resolver, vamos usar:
- A função de sobrevivência da exponencial:
. - O fato de que “pelo menos um sinistro em
” é .
Passo 2
Primeiro, revisando a teoria da Exponencial:
- A densidade é
. - A função de distribuição acumulada é
- A função de sobrevivência (probabilidade de esperar mais que
) é
Na prática,
.
Passo 3
Agora, adaptando pra “próximas cinco horas”:
- Cada unidade de
na densidade vale 30 min. - 5 horas = 300 min = 10 × 30 min, então
. - A taxa continua
por unidade.
Assim,
E a probabilidade de pelo menos um sinistro é