O tempo decorrido entre o k-ésimo e ( k-1 )-ésimo sinistros processados por uma seguradora, representado por Wk, tem distribuição exponencial com f.d.p. dada por
fWt(t)=0.1 e^-0.1 t I(0, infty)(t)
O tempo é mensurado em intervalos de 30 minutos. Calcule a probabilidade de que pelo menos um será processado nas próximas cinco horas.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que o tempo entre sinistros fW(t)=0.1,e^-0.1t,I(0,infty)(t), é Exponencial com densidade
o que significa que a taxa (λ) é 0.1 por “unidade” de 30 min. A matéria aqui é Distribuição Exponencial (e, se quiser, Processo de Poisson). Para resolver, vamos usar:
  • A função de sobrevivência da exponencial: .
  • O fato de que “pelo menos um sinistro em ” é .

Passo 2

Primeiro, revisando a teoria da Exponencial:
  1. A densidade é F(t)=P(W<= t)=1-e^-lambda t .
  2. A função de distribuição acumulada é
P(W>t)=1-F(t)=e^-lambda t
  1. A função de sobrevivência (probabilidade de esperar mais que ) é
Na prática, .

Passo 3

Agora, adaptando pra “próximas cinco horas”:
  • Cada unidade de P(nenhum sinistro em 5 h) = e^-lambda t = e^-0.1 times 10 = e^-1 na densidade vale 30 min.
  • 5 horas = 300 min = 10 × 30 min, então 1 - P(nenhum) = 1 - e^-1 .
  • A taxa continua por unidade.
Assim,
E a probabilidade de pelo menos um sinistro é

Resposta

boxed1 - e^-1approx 0.6321

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