Considere uma casca esférica de raio interno R1 e externo R2, de material isolante, uniformemente carregada com uma densidade volumétrica de carga rho.
b) calcular o potencial elétrico para pontos P situados em:
b.2) na superfície interna

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma casca esférica com raio interno $ R_1 $ e externo $ R_2 $, feita de um material isolante que está carregado de forma uniforme, ou seja, com densidade volumétrica de carga $ \rho $. Nosso objetivo aqui é calcular o potencial elétrico $ V $ em pontos que estão na superfície interna dessa casca ($ r = R_1 $). Para fazer isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especificamente sobre a distribuição de carga em esferas e como calcular o potencial elétrico a partir dessa distribuição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico $ V $ em um ponto devido a uma distribuição de cargas é dado por:
V
onde $ k $ é a constante eletrostática ($ k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} $), $ dq $ é um elemento de carga, e $ r $ é a distância desse elemento de carga até o ponto onde estamos calculando o potencial.

Passo 3

Como nossa casca é esférica e a carga está distribuída de maneira uniforme, vamos considerar uma casca esférica com espessura $ \Delta r $ e raio $ r $. A carga em uma camada fina da casca seria:
De
onde $ dV $ é o volume da camada fina.

Passo 4

Agora, precisamos calcular o potencial devido a toda a casca na superfície interna ($ r = R_1 $). Para isso, vamos integrar $ dq $ desde o raio interno $ R_1 $ até o raio externo $ R_2 $:
r = R1
Simplificando a integral:
dq

Passo 5

Simplificando ainda mais, podemos escrever:
V(R1) = 2pi k rho (R2^2 - R1^2)
Sabendo que $ k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} $, substituímos:
k = 14piepsilon0

Resposta

O potencial elétrico na superfície interna da casca esférica é:
V(R1) = rho (R2^2 - R1^2)2, epsilon0

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