Considere uma casca esférica de raio interno
e externo
, de material isolante, uniformemente carregada com uma densidade volumétrica de carga
.
b) calcular o potencial elétrico para pontos P situados em:
b.2) na superfície interna
b) calcular o potencial elétrico para pontos P situados em:
b.2) na superfície interna
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma casca esférica com raio interno $ R_1 $ e externo $ R_2 $, feita de um material isolante que está carregado de forma uniforme, ou seja, com densidade volumétrica de carga $ \rho $. Nosso objetivo aqui é calcular o potencial elétrico $ V $ em pontos que estão na superfície interna dessa casca ($ r = R_1 $). Para fazer isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especificamente sobre a distribuição de carga em esferas e como calcular o potencial elétrico a partir dessa distribuição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico $ V $ em um ponto devido a uma distribuição de cargas é dado por:
onde $ k $ é a constante eletrostática ($ k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} $), $ dq $ é um elemento de carga, e $ r $ é a distância desse elemento de carga até o ponto onde estamos calculando o potencial.
Passo 3
Como nossa casca é esférica e a carga está distribuída de maneira uniforme, vamos considerar uma casca esférica com espessura $ \Delta r $ e raio $ r $. A carga em uma camada fina da casca seria:
onde $ dV $ é o volume da camada fina.
Passo 4
Agora, precisamos calcular o potencial devido a toda a casca na superfície interna ($ r = R_1 $). Para isso, vamos integrar $ dq $ desde o raio interno $ R_1 $ até o raio externo $ R_2 $:
Simplificando a integral:
Passo 5
Simplificando ainda mais, podemos escrever:
Sabendo que $ k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} $, substituímos:
Resposta
O potencial elétrico na superfície interna da casca esférica é: