Considere uma casca esférica de reio R carregada uniformemente em função de r. Demostre qual é o potencial elétrico V(r ) no lado externo r >= R da casca esférica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma casca esférica de raio $ R $ que está carregada de forma uniforme. Nosso objetivo é descobrir qual é o potencial elétrico $ V® $ para pontos fora da casca, ou seja, quando $ r \geq R $. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de eletrostática, como carga elétrica, potencial elétrico e a Lei de Gauss.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico $ V $ devido a uma carga pontual é dado por:
V
onde:
  • $ Q $ é a carga elétrica,
  • $ r $ é a distância do ponto onde queremos calcular o potencial até a carga,
  • $ \epsilon_0 $ é a constante de permissividade do vácuo.

Passo 3

No caso de uma casca esférica carregada uniformemente, podemos tratar toda a carga como se ela estivesse concentrada no centro da esfera quando estamos calculando o potencial fora da casca ($ r \geq R $). Isso é uma consequência da Lei de Gauss, que nos diz que a simetria esférica simplifica bastante os cálculos.

Passo 4

Então, a carga total $ Q $ da casca esférica está distribuída uniformemente na superfície. Para calcular o potencial fora da casca, simplesmente usamos a fórmula do potencial de uma carga pontual, já que a distribuição esférica não altera o resultado para $ r \geq R $.

Passo 5

Aplicando a fórmula mencionada no Passo 2, substituímos $ Q $ pela carga total da casca e $ r $ pela distância do ponto externo à casca. Assim, o potencial elétrico externo à casca esférica é:
Q

Resposta

Portanto, o potencial elétrico $ V® $ no lado externo ($ r \geq R $) da casca esférica é dado por:
V(r)

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