Considere uma casca esférica de reio R carregada uniformemente em função de r. Demostre qual é o potencial elétrico V(r ) no lado interno r da casca esférica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma casca esférica de raio $ R $ que está carregada de forma uniforme em relação a $ r $. Nosso objetivo é descobrir qual é o potencial elétrico $ V® $ dentro dessa casca, ou seja, para $ r < R $. Para resolver isso, vamos precisar conhecer conceitos de eletrostática, especialmente sobre o potencial elétrico devido a distribuições de carga simétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para distribuições de carga com simetria esférica, como a casca esférica mencionada, podemos usar a Lei de Gauss para simplificar os cálculos. A Lei de Gauss nos ajuda a encontrar o campo elétrico $ E® $ em diferentes regiões ao redor da distribuição de carga.

Passo 3

No caso de uma casca esférica carregada uniformemente, a carga está distribuída apenas na superfície da esfera. Usando a Lei de Gauss, sabemos que para pontos internos à casca ($ r < R $), o campo elétrico $ E® $ é zero. Isso ocorre porque as contribuições das cargas na casca se cancelam dentro dela.

Passo 4

Agora, para encontrar o potencial elétrico $ V® $, precisamos lembrar que o potencial é relacionado ao campo elétrico pela relação $ E = -\frac{dV}{dr} $. Mas, se o campo elétrico dentro da casca é zero, isso significa que o potencial também é constante nessa região.

Passo 5

Para determinar o valor constante do potencial interno, observamos que o potencial na superfície da casca ($ r = R $) é dado por $ V® = \frac{kQ}{R} $, onde $ k $ é a constante eletrostática e $ Q $ é a carga total da casca. Como o potencial é constante para $ r < R $, então $ V® = V® $.

Resposta

Portanto, o potencial elétrico dentro da casca esférica ($ r < R $) é:
r < R

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