Uma partícula de massa m executa um movimento unidimensional e possui uma energia potencial cuja dependência com a coordenada x é U(x)=ax^2-bx, onde a e b são constantes positivas.
(a) Determine a posição de equilíbrio para um corpo sob a ação dessa força; (R: xe q=2 ab )
(b) Mostre que a equação diferencial do movimento para pequenas oscilações em torno da posição de equilíbrio é
d^2 x^primed t^2+(b^48 a^3 m) x^prime=0, com x^prime=x-xe q
© Calcule o período natural das oscilações. (

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que temos:
– Enunciado: a partícula se move numa direção só e tem energia potencial
U(x)=ax^2-bx,
com d^2x'dt^2+l(b^48,a^3mr),x'=0 . Precisamos:
  1. Achar a posição de equilíbrio .
  2. Ver que, para pequenas oscilações , a equação do movimento fica
  1. Calcular o período .
Conteúdo envolvido:
  • Derivada da energia potencial (que dá a força).
  • Ponto de equilíbrio: onde a força é zero ( ).
  • Expansão de Taylor em torno de para obter um potencial quadrático (oscilador harmônico).
  • Período de um MHS: .

Passo 2

(a) Posição de equilíbrio F(x)=-dUdx,
Teoria rápida: equilíbrio ocorre onde a força resultante some, e como
dUdx =ddxl(ax^2-bxr) =-2a,x^-3+b,x^-2
a gente faz -2a,x^-3+b,x^-2=0 ;Longrightarrow; b,x^-2=2a,x^-3 ;Longrightarrow; b,x=2a ;Longrightarrow; boxedxrm eq=2ab .
Calculemos
Colocando igual a zero:

Passo 3

(b) Equação de pequenas oscilações
  1. Definimos U(x)approx U(xrm eq) +underbraceU'(xrm eq)0,x' +tfrac12,U''(xrm eq),x'^2 +cdots =constante+tfrac12,U''(xrm eq),x'^2 .
  2. Fazemos expansão de Taylor de F=-dUdxapprox -U''(xrm eq),x' em torno de md^2x'dt^2 =-U''(xrm eq),x' Longrightarrow d^2x'dt^2 +U''(xrm eq)m,x'=0 :
    U''(x) =ddxl(-2a,x^-3+b,x^-2r) =6a,x^-4-2b,x^-3
    O termo linear some porque U''(xrm eq) =6al(b2ar)^4 -2bl(b2ar)^3 =6a,b^416,a^4 -2b,b^38,a^3 =38b^4a^3 -14b^4a^3 =18,b^4a^3 .
  3. Para oscilações pequenas, a força é
    d^2x'dt^2 +underbraceU''(xrm eq)mb^48,a^3m,x'=0,
    Pela segunda lei de Newton , vem
  4. Falta só achar . Vamos derivar de novo:
    Avaliando em :
    Logo a equação fica
    que era o que queríamos mostrar.

Passo 4

© Período natural T=2piraizmk
Num MHS padrão T =2piraizm,b^4/(8a^3) =2piraiz8,a^3mb^4 , o período é
Aqui . Então

Resposta

(a)
(b)
©

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