Uma partícula de massa
executa um movimento unidimensional e possui uma energia potencial cuja dependência com a coordenada
é
, onde
e
são constantes positivas.
(a) Determine a posição de equilíbrio para um corpo sob a ação dessa força; (R:
)
(b) Mostre que a equação diferencial do movimento para pequenas oscilações em torno da posição de equilíbrio é
© Calcule o período natural das oscilações. (
(a) Determine a posição de equilíbrio para um corpo sob a ação dessa força; (R:
(b) Mostre que a equação diferencial do movimento para pequenas oscilações em torno da posição de equilíbrio é
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que temos:
– Enunciado: a partícula se move numa direção só e tem energia potencial
– Enunciado: a partícula se move numa direção só e tem energia potencial
com
. Precisamos:
- Achar a posição de equilíbrio
. - Ver que, para pequenas oscilações
, a equação do movimento fica
- Calcular o período
.
Conteúdo envolvido:
- Derivada da energia potencial (que dá a força).
- Ponto de equilíbrio: onde a força é zero (
). - Expansão de Taylor em torno de
para obter um potencial quadrático (oscilador harmônico). - Período de um MHS:
.
Passo 2
(a) Posição de equilíbrio
Teoria rápida: equilíbrio ocorre onde a força resultante some, e como
a gente faz
.
Calculemos
Colocando igual a zero:
Passo 3
(b) Equação de pequenas oscilações
-
Definimos
. -
Fazemos expansão de Taylor de
em torno de : O termo linear some porque .U''(xrm eq) =6al(b2ar)^4 -2bl(b2ar)^3 =6a,b^416,a^4 -2b,b^38,a^3 =38b^4a^3 -14b^4a^3 =18,b^4a^3 -
Para oscilações pequenas, a força é
d^2x'dt^2 +underbraceU''(xrm eq)mb^48,a^3m,x'=0, Pela segunda lei de Newton , vem -
Falta só achar
. Vamos derivar de novo:Avaliando em :Logo a equação ficaque era o que queríamos mostrar.
Passo 4
© Período natural
T=2piraizmk
Num MHS padrão
T =2piraizm,b^4/(8a^3) =2piraiz8,a^3mb^4 , o período é
Aqui
. Então
Resposta
(a)
(b)
©
(b)
©