Considere .
(a) Calcule os autovalores e autovetores correspondentes de A e A^2.
(b) O que você pode dizer ao comparar os autovetores de A e A^2 ?
(c) E quanto aos autovalores?
(d) O que você espera dos autovalores e autovetores de A^3 ? Verifique.
(e) Use a equação de autovetores A v=lambda v para demonstrar esse resultado para A^n.
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz
A = -1 & 3 2 & 0
e pede, em (a), os autovalores e autovetores de A e de A^2; em (b) e (c) comparar vetores e valores próprios; em (d) prever e verificar para A^3; e em (e) provar o caso geral A^n. O conteúdo é teoria de autovalores/autovetores e propriedades de potências de matrizes, usando a definição
A,boldsymbol v = lambda,boldsymbol v
e manipulações de polinômio característico.
Passo 2
Primeiro encontramos os autovalores de resolvendo
As raízes são
Para , dá
logo um autovetor é .
Para , dá
logo podemos escolher .
Passo 3
Calculamos
A^2 = -1&32&0 -1&32&0 = 7 & -3 -2 & 6
O polinômio característico de A^2 é
det(A^2 - mu I) = det 7-mu & -3 -2 & 6-mu = (mu-4)(mu-9)=0,
logo mu1=4, mu2=9. Repetindo o cálculo de autovetores, obtemos exatamente os mesmos vetores boldsymbol v1=(1,1) e boldsymbol v2=(3,-2).
Passo 4
Comparando os resultados:
(b) Os autovetores de A e de A^2 coincidem.
(c) Os autovalores de A^2 são o quadrado dos autovalores de A:
4 = 2^2, 9 = (-3)^2
Passo 5
Pelos itens anteriores, esperamos que em A^3 os autovalores sejam 2^3=8 e (-3)^3=-27, e os autovetores os mesmos. De fato,
confirmando as raízes nu1=8, nu2=-27 e autovetores iguais aos de A.
Passo 6
Para provar o caso geral, assuma Aboldsymbol v=lambdaboldsymbol v. Por indução em n: para n=1 é trivial. Supondo A^n-1boldsymbol v=lambda^n-1boldsymbol v, então
A^nboldsymbol v = Al(A^n-1boldsymbol vr) = Al(lambda^n-1boldsymbol vr) = lambda^n-1,(Aboldsymbol v) = lambda^n-1,(lambdaboldsymbol v) = lambda^n boldsymbol v
Assim, todo par (lambda,boldsymbol v) de A gera lambda^n e boldsymbol v para A^n.
Resposta
(a) Para A: lambda1=2, boldsymbol v1=(1,1); lambda2=-3, boldsymbol v2=(3,-2).
Para A^2: mu1=4, boldsymbol v1=(1,1); mu2=9, boldsymbol v2=(3,-2).
(b) Os autovetores de A e A^2 coincidem.
(c) Os autovalores de A^2 são os quadrados dos de A.
(d) Em A^3 temos autovalores 8 e -27 (ou seja, 2^3 e (-3)^3) e os mesmos autovetores; verificado.
(e) De Aboldsymbol v=lambdaboldsymbol v segue por indução que A^nboldsymbol v=lambda^nboldsymbol v.