Determine o vetor v, ortogonal ao eixo O y, sabendo que v cdot(0,3,2)=8 e |v times(1,2,0)|=raiz180.

Passo 1

O enunciado pede um vetor vec v que seja ortogonal ao eixo Oy, satisfaça
vec vcdot (0,3,2)=8
e
llvert vec vtimes (1,2,0)rrvert = raiz180
Para resolver usamos as propriedades de produto escalar, produto vetorial e norma.

Passo 2

Ser ortogonal ao eixo Oy significa que vec v é perpendicular ao vetor diretor (0,1,0). Logo
vec vcdot(0,1,0)=0
e se vec v=(v1,v2,v3) então
v2=0,
ou seja
vec v=(v1,0,v3)

Passo 3

Usamos agora a condição do produto escalar:
vec vcdot(0,3,2) = (v1,0,v3)cdot(0,3,2) = 0cdot v1 + 3cdot0 + 2,v3 = 2v3 = 8
Daí
v3 = 4
Portanto vec v = (v1,0,4).

Passo 4

Calculamos o produto vetorial
(v1,0,4)times(1,2,0) = l(-8,,4,,2v1r),
cuja norma é
llvert(-8,4,2v1)rrvert = raiz(-8)^2 + 4^2 + (2v1)^2 = raiz80 + 4v1^2 = 2raizv1^2 + 20
Impondo llvert vec vtimes(1,2,0)rrvert = raiz180, temos
2raizv1^2+20 = raiz180 Longrightarrow 4(v1^2+20) = 180 Longrightarrow v1^2 = 25 Longrightarrow v1 = pm 5

Resposta

As soluções são
vec v = (5,,0,,4) ou vec v = (-5,,0,,4)

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