Encontre o vetor u tal que u times(i-j)=2(i+j-k), tal que o módulo de u seja raiz6.

Passo 1

O enunciado pede um vetor u tal que
utimes(i-j)=2(i+j-k)
e cujo módulo seja raiz6.
Conteúdo: uso do produto vetorial para gerar um sistema de equações nas componentes de u e imposição da condição |u|=raiz6.

Passo 2

Escrevemos u=(u1,u2,u3) e i-j=(1,-1,0). Então
utimes(i-j) =(u2cdot0-u3cdot(-1),;u3cdot1-u1cdot0,;u1cdot(-1)-u2cdot1) =(u3,;u3,;-u1-u2)
Como isso deve igualar 2(1,1,-1)=(2,2,-2), obtemos o sistema
u3=2, u3=2, -u1-u2=-2Longrightarrow u3=2,;u1+u2=2

Passo 3

A condição de módulo é
|u|^2=u1^2+u2^2+u3^2=6
Substituindo u3=2
u1^2+u2^2+4=6 Longrightarrow u1^2+u2^2=2
Com u2=2-u1 inserido em u1^2+u2^2=2 vem
u1^2+(2-u1)^2=2 ;Longrightarrow; 2u1^2-4u1+2=0 ;Longrightarrow; (u1-1)^2=0 ;Longrightarrow; u1=1,;u2=1

Passo 4

Portanto u=(1,1,2), ou seja
u=i+j+2k
Verificação rápida: seu módulo é raiz1^2+1^2+2^2=raiz6 e o produto vetorial com i-j dá exatamente 2(i+j-k).

Resposta

u=i+j+2k.

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