Considere .
(a) Calcule os autovalores e autovetores correspondentes de A e A^-1, a matriz inversa de A.
(b) O que você pode dizer ao comparar os autovetores de A e A^-1 ?
(c) E quanto aos autovalores?
(d) Use a equação de autovetores A v=lambda v para demonstrar esse resultado para uma matriz A inversível qualquer. (Sugestão multiplique por A^-1 pela esquerda de ambos os lados)
Passo 1
O enunciado pede para achar os autovalores e autovetores de
A=0 & 2 2 & 3
e de A^-1, comparar esses autovetores e autovalores, e por fim mostrar que, para qualquer matriz invertível A, os autovetores de A e A^-1 coincidem e que os autovalores de A^-1 são os recíprocos dos de A. Vamos usar o cálculo do polinômio característico, resolução de sistemas lineares homogêneos e depois a propriedade geral de inversão.
Passo 2
Para encontrar os autovalores de A, montamos o polinômio característico
Comparando os resultados:
– Os autovetores de A e de A^-1 são os mesmos (v1 e v2).
– Os autovalores de A^-1 são os recíprocos dos de A: mu1=1/lambda1, mu2=1/lambda2.
Passo 7
Para qualquer matriz invertível A e um autovetor vneq0 com autovalor lambda, temos
Isto prova que v também é autovetor de A^-1 com autovalor 1/lambda.
Resposta
(a) Autovalores de A: lambda1=4, lambda2=-1; autovetores v1=(1,2)^T, v2=(-2,1)^T.
Autovalores de A^-1: mu1=1/4, mu2=-1; mesmos autovetores v1, v2.
(b) Os autovetores de A e A^-1 coincidem.
(c) Os autovalores de A^-1 são os recíprocos dos de A.
(d) Demonstração geral: multiplicando A,v=lambda v por A^-1 obtemos A^-1v=(1/lambda),v.