Considere A=[ll0 & 2 2 & 3].
(a) Calcule os autovalores e autovetores correspondentes de A e A^-1, a matriz inversa de A.
(b) O que você pode dizer ao comparar os autovetores de A e A^-1 ?
(c) E quanto aos autovalores?
(d) Use a equação de autovetores A v=lambda v para demonstrar esse resultado para uma matriz A inversível qualquer. (Sugestão multiplique por A^-1 pela esquerda de ambos os lados)

Passo 1

O enunciado pede para achar os autovalores e autovetores de
A=0 & 2 2 & 3
e de A^-1, comparar esses autovetores e autovalores, e por fim mostrar que, para qualquer matriz invertível A, os autovetores de A e A^-1 coincidem e que os autovalores de A^-1 são os recíprocos dos de A. Vamos usar o cálculo do polinômio característico, resolução de sistemas lineares homogêneos e depois a propriedade geral de inversão.

Passo 2

Para encontrar os autovalores de A, montamos o polinômio característico
det(A - lambda I) =det-lambda & 2 [6pt]2 & 3-lambda =lambda( lambda -3)-4 =lambda^2-3lambda-4
e igualamos a zero:
lambda^2-3lambda-4=0Longrightarrow lambda=3pmraiz9+162=3pm52
Logo
lambda1=4, lambda2=-1 ]

Passo 3

Para resolvemos , isto é
A primeira linha dá . Tomando , obtemos
Para temos , ou
da primeira linha vem . Escolhendo ,
]

Passo 4

Calculamos A^-1. Como det A=0cdot3-2cdot2=-4, a matriz adjunta de A é
3 & -2-2 & 0, logo
A^-1=1det A3 & -2-2 & 0 =-143 & -2-2 & 0 =-tfrac34 & tfrac12[3pt]tfrac12 & 0 ]

Passo 5

Aplicamos A^-1 aos vetores v1 e v2.
Para v1=(1,2)
A^-1v1 =-tfrac34 & tfrac12[3pt]tfrac12 & 0 12 =-tfrac34+1[3pt]tfrac12 =tfrac14[3pt]tfrac12 =tfrac1412 =tfrac14,v1
Para v2=(-2,1)
A^-1v2 =-tfrac34 & tfrac12[3pt]tfrac12 & 0 -21 =tfrac32+tfrac12[3pt]-1 =2[3pt]-1 =-1-21 =-1,v2
Portanto os autovalores de A^-1 são
mu1=tfrac14, mu2=-1 ]

Passo 6

Comparando os resultados:
– Os autovetores de A e de A^-1 são os mesmos ( v1 e v2).
– Os autovalores de A^-1 são os recíprocos dos de A:
mu1=1/lambda1, mu2=1/lambda2.

Passo 7

Para qualquer matriz invertível A e um autovetor vneq0 com autovalor lambda, temos
A,v=lambda,v
Multiplicando à esquerda por A^-1
A^-1(A,v)=A^-1(lambda,v) Longrightarrow v=lambda,(A^-1v) Longrightarrow A^-1v=1lambda,v
Isto prova que v também é autovetor de A^-1 com autovalor 1/lambda.

Resposta

(a) Autovalores de A: lambda1=4, lambda2=-1; autovetores v1=(1,2)^T, v2=(-2,1)^T.
Autovalores de A^-1: mu1=1/4, mu2=-1; mesmos autovetores v1, v2.
(b) Os autovetores de A e A^-1 coincidem.
(c) Os autovalores de A^-1 são os recíprocos dos de A.
(d) Demonstração geral: multiplicando A,v=lambda v por A^-1 obtemos A^-1v=(1/lambda),v.

Exercícios relacionados