Considere uma certa mola que não obedece a lei de Hooke Uma das extremidades da mola é mantida fixa. Para manter a mola comprimida ou esticada de uma distância
é necessário aplicar uma força na extremidade livre da mola ao longo do eixo Ox a força em Newtons é dada por
.
Onde:
e
.
a) Qual o trabalho necessário esticar essa mola
a partir do seu comprimento sem deformação?
b) Qual o trabalho necessário para comprimir essa mola
a partir do seu comprimento sem deformação?
c) É mais fácil comprimir ou esticar a mola? Justifique.
Onde:
a) Qual o trabalho necessário esticar essa mola
b) Qual o trabalho necessário para comprimir essa mola
c) É mais fácil comprimir ou esticar a mola? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma mola que não segue a lei de Hooke, ou seja, a força que a mola exerce não é proporcional à deformação. A gente vai precisar entender um pouco sobre trabalho e como calcular a força que a mola exerce quando ela é esticada ou comprimida. As fórmulas vão estar em LaTeX para facilitar a visualização.
Passo 2
Parte a) Qual o trabalho necessário esticar essa mola
a partir do seu comprimento sem deformação?
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho $ W $ para esticar ou comprimir uma mola é dado pela integral da força $ F(x) $ aplicada ao longo da distância $ x $:
Aqui, a força é dada por:
Com os valores:
- $ K = 100 , \mathrm{N/m} $
- $ A = 600 , \mathrm{N/m^{2}} $
- $ B = 1600 , \mathrm{N/m^{3}} $
- $ x = 0,1 , \mathrm{m} $
Vamos substituir esses valores na expressão:
Agora, vamos integrar termo a termo:
Então, a expressão integrada fica:
Agora, substituímos $ x = 0,1 $ e $ x = 0 $:
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Passo 3
Parte b) Qual o trabalho necessário para comprimir essa mola
a partir do seu comprimento sem deformação?
Comprimir a mola significa que vamos aplicar uma força na direção oposta. No entanto, a expressão da força $ F(x) $ já considera tanto a compressão quanto a extensão, já que $ x $ pode ser positivo (extensão) ou negativo (compressão).
Para $ x = -0,1 , \mathrm{m} $, o trabalho será:
Podemos mudar os limites da integral para torná-la positiva, lembrando que isso muda o sinal do trabalho:
Agora, integramos termo a termo:
A expressão integrada fica:
Substituindo $ x = 0 $ e $ x = -0,1 $:
Calculando cada termo:
Somando:
Então:
Passo 4
Parte c) É mais fácil comprimir ou esticar a mola? Justifique.
Olha só, vamos comparar o trabalho necessário para esticar e comprimir a mola:
- Trabalho para esticar $ x = 0,1 , \mathrm{m} $: $ W = 0,34 , \mathrm{J} $
- Trabalho para comprimir $ x = 0,1 , \mathrm{m} $: $ W = 0,74 , \mathrm{J} $
Como o trabalho para comprimir é maior que para esticar, isso significa que é mais difícil comprimir a mola do que esticá-la.
Resposta
a) O trabalho necessário para esticar a mola
é de
.
b) O trabalho necessário para comprimir a mola
é de
.
c) É mais fácil esticar a mola do que comprimi-la, já que o trabalho necessário para esticá-la é menor.