Considere uma certa mola que não obedece a lei de Hooke Uma das extremidades da mola é mantida fixa. Para manter a mola comprimida ou esticada de uma distância x é necessário aplicar uma força na extremidade livre da mola ao longo do eixo Ox a força em Newtons é dada por Fx=K x-A x^2+B x^3.
Onde: K=100 N / m, A=600 N / m^2 e B=1600 N / m^3.
a) Qual o trabalho necessário esticar essa mola 0,1 m a partir do seu comprimento sem deformação?
b) Qual o trabalho necessário para comprimir essa mola 0,1 m a partir do seu comprimento sem deformação?
c) É mais fácil comprimir ou esticar a mola? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma mola que não segue a lei de Hooke, ou seja, a força que a mola exerce não é proporcional à deformação. A gente vai precisar entender um pouco sobre trabalho e como calcular a força que a mola exerce quando ela é esticada ou comprimida. As fórmulas vão estar em LaTeX para facilitar a visualização.

Passo 2

Parte a) Qual o trabalho necessário esticar essa mola 0,1 m a partir do seu comprimento sem deformação?
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho $ W $ para esticar ou comprimir uma mola é dado pela integral da força $ F(x) $ aplicada ao longo da distância $ x $:
W
Aqui, a força é dada por:
F(x)
Com os valores:
  • $ K = 100 , \mathrm{N/m} $
  • $ A = 600 , \mathrm{N/m^{2}} $
  • $ B = 1600 , \mathrm{N/m^{3}} $
  • $ x = 0,1 , \mathrm{m} $
Vamos substituir esses valores na expressão:
x
Agora, vamos integrar termo a termo:
W = integral0^x F(x) , dx
Fx = Kx - Ax^2 + Bx^3
K = 100 , N/m
Então, a expressão integrada fica:
A = 600 , N/m^2
Agora, substituímos $ x = 0,1 $ e $ x = 0 $:
B = 1600 , N/m^3
Calculando cada termo:
x = 0,1 , m
W = integral0^0,1 (100x - 600x^2 + 1600x^3) , dx
integral 100x , dx = 50x^2
Somando tudo:
integral -600x^2 , dx = -200x^3

Passo 3

Parte b) Qual o trabalho necessário para comprimir essa mola 0,1 m a partir do seu comprimento sem deformação?
Comprimir a mola significa que vamos aplicar uma força na direção oposta. No entanto, a expressão da força $ F(x) $ já considera tanto a compressão quanto a extensão, já que $ x $ pode ser positivo (extensão) ou negativo (compressão).
Para $ x = -0,1 , \mathrm{m} $, o trabalho será:
F(x)
Podemos mudar os limites da integral para torná-la positiva, lembrando que isso muda o sinal do trabalho:
x
Agora, integramos termo a termo:
x = -0,1 , m
W = integral0^-0,1 (100x - 600x^2 + 1600x^3) , dx
W = -integral-0,1^0 (100x - 600x^2 + 1600x^3) , dx
A expressão integrada fica:
integral 100x , dx = 50x^2
Substituindo $ x = 0 $ e $ x = -0,1 $:
integral -600x^2 , dx = -200x^3
Calculando cada termo:
integral 1600x^3 , dx = 400x^4
W = -[ 50x^2 - 200x^3 + 400x^4 ]-0,1^0
x = 0
Somando:
x = -0,1
Então:
W = -( 0 - [ 50(-0,1)^2 - 200(-0,1)^3 + 400(-0,1)^4 ] )

Passo 4

Parte c) É mais fácil comprimir ou esticar a mola? Justifique.
Olha só, vamos comparar o trabalho necessário para esticar e comprimir a mola:
  • Trabalho para esticar $ x = 0,1 , \mathrm{m} $: $ W = 0,34 , \mathrm{J} $
  • Trabalho para comprimir $ x = 0,1 , \mathrm{m} $: $ W = 0,74 , \mathrm{J} $
Como o trabalho para comprimir é maior que para esticar, isso significa que é mais difícil comprimir a mola do que esticá-la.

Resposta

a) O trabalho necessário para esticar a mola 0,1 , m é de 0,34 , J.
b) O trabalho necessário para comprimir a mola 0,1 , m é de 0,74 , J.
c) É mais fácil esticar a mola do que comprimi-la, já que o trabalho necessário para esticá-la é menor.

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