Em um projeto com um cenário para calcular o pior caso, um elevador de 2000 kg com o cabo quebrado cai a
sobre a mola de amortecimento no fundo do poço. A mola é projetada para fazer o elevador parar quando ela sofre uma compressão de
. Durante o movimento, uma braçadeira de segurança exerce sobre o elevador uma força de atrito constante igual a 17000 N. Como consultor do projeto, calcule a constante da mola que deve ser usada nesta situação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um elevador de 2000 kg que está caindo a 20,0 m/s e vai parar quando uma mola se comprime 3,0 m. Além disso, há uma força de atrito constante de 17000 N agindo no elevador. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a constante da mola que precisamos usar para garantir que o elevador pare corretamente. Vamos precisar usar conceitos de energia e forças envolvidas no movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais energias estão em jogo aqui. Quando o elevador está movendo-se a uma certa velocidade e depois para, a energia cinética do elevador será transformada em energia potencial da mola e em trabalho realizado pela força de atrito.
A energia cinética (Ec) é dada por:
onde $ m $ é a massa e $ v $ é a velocidade.
Passo 3
Vamos calcular a energia cinética do elevador:
Então, a energia cinética do elevador é de 400000 Joules.
Passo 4
Agora, a energia potencial da mola (Ep) quando ela está comprimida é:
onde $ k $ é a constante da mola que queremos encontrar e $ x $ é a compressão da mola, que é 3,0 m.
Passo 5
Além disso, temos a força de atrito constante de 17000 N. O trabalho realizado por essa força de atrito (W) ao longo da compressão da mola é:
Vamos calcular esse trabalho:
Passo 6
A energia cinética do elevador será igual à soma da energia potencial da mola e do trabalho realizado pela força de atrito:
Substituindo as expressões:
Passo 7
Vamos isolar $ \frac{1}{2} k (3,0)^2 $:
Passo 8
Agora, resolvemos para $ k $:
Resposta
A constante da mola que deve ser usada é aproximadamente $ 7,76 \times 10^4,N/m $.