A distribuição de Maxwell-Boltzmann descreve como as velocidades das moléculas em um gás ideal se distribuem em uma determinada temperatura
. Esta distribuição é útil para entender o comportamento microscópico dos gases e é fundamental em física estatística.
Para um gás em equilíbrio térmico, a probabilidade de uma molécula ter uma velocidade
é dada pela função de distribuição de velocidade:
onde:
-
é a massa da molécula,
-
é a constante de Boltzmann,
-
é a temperatura em Kelvin.
Para interpretar essa função, focamos em três velocidades características:
(a) A velocidade mais provável
, onde
é máxima.
(b) A velocidade média
, que é a média ponderada de todas as velocidades.
© A velocidade quadrática média
, que relaciona-se diretamente com a energia cinética média.
Cálculo da Velocidade Mais Provável
A velocidade mais provável
é o valor de
que maximiza
. Para encontrá-la, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Calculando a derivada:
Simplificando:
Cálculo da Velocidade Média
A velocidade média
é dada pela média ponderada da velocidade, usando
:
Substituindo
:
Simplificando a integral e resolvendo-a (um cálculo padrão em física estatística), encontramos:
Cálculo da Velocidade Quadrática Média
A velocidade quadrática média
é definida pela raiz quadrada da média dos quadrados das velocidades:
Substituindo
e resolvendo a integral, obtemos:
Agora que você aprendeu o que é distribuição de velocidades, responda o problema a seguir.
Dado um gás ideal com moléculas de massa
a uma temperatura de
, calcule:
(b) A velocidade quadrática média
.
Use
para os cálculos.
Para um gás em equilíbrio térmico, a probabilidade de uma molécula ter uma velocidade
Para interpretar essa função, focamos em três velocidades características:
(a) A velocidade mais provável
(b) A velocidade média
© A velocidade quadrática média
Dado um gás ideal com moléculas de massa
(b) A velocidade quadrática média
Use
Passo 1
Beleza, vamos resolver a parte (b) do exercício sobre a velocidade quadrática média $ v_{\mathrm{rms}} $. A gente trabalha com a distribuição de Maxwell-Boltzmann, que nos ajuda a entender como as velocidades das moléculas de um gás ideal estão distribuídas em uma certa temperatura. Para calcular o $ v_{\mathrm{rms}} $, que é a raiz quadrada da média dos quadrados das velocidades, a gente vai usar a fórmula:
Onde:
- $ k $ é a constante de Boltzmann ($ 1,38 \times 10^{-23} , \mathrm{J/K} $),
- $ T $ é a temperatura em Kelvin,
- $ m $ é a massa de uma molécula do gás.
Vamos precisar substituir esses valores na fórmula para encontrar o $ v_{\mathrm{rms}} $.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os valores que já temos:
- Massa da molécula ($ m $): $ 4,65 \times 10^{-26} , \mathrm{kg} $
- Temperatura ($ T $): $ 300 , \mathrm{K} $
- Constante de Boltzmann ($ k $): $ 1,38 \times 10^{-23} , \mathrm{J/K} $
Passo 3
Agora, vamos substituir esses valores na fórmula do $ v_{\mathrm{rms}} $:
Passo 4
Vamos calcular o que está dentro da raiz primeiro:
Calculando os números:
E para as potências de 10:
Então, o valor dentro da raiz fica:
Passo 5
Agora, vamos tirar a raiz quadrada desse número:
Resposta
A velocidade quadrática média $ v_{\mathrm{rms}} $ das moléculas do gás é aproximadamente 517 metros por segundo.