A distribuição de Maxwell-Boltzmann descreve como as velocidades das moléculas em um gás ideal se distribuem em uma determinada temperatura T. Esta distribuição é útil para entender o comportamento microscópico dos gases e é fundamental em física estatística.
Para um gás em equilíbrio térmico, a probabilidade de uma molécula ter uma velocidade v é dada pela função de distribuição de velocidade:
f(v)=4 pi(m2 pi k T)^3 / 2 v^2 e^-m v^22 k T
onde:
  • m é a massa da molécula,
  • k é a constante de Boltzmann,
  • T é a temperatura em Kelvin.
    Para interpretar essa função, focamos em três velocidades características:
    (a) A velocidade mais provável vp, onde f(v) é máxima.
    (b) A velocidade média barv, que é a média ponderada de todas as velocidades.
    © A velocidade quadrática média vrms, que relaciona-se diretamente com a energia cinética média.

Cálculo da Velocidade Mais Provável

A velocidade mais provável vp é o valor de v que maximiza f(v). Para encontrá-la, derivamos f(v) em relação a v e igualamos a zero:
dd v f(v)=0
Calculando a derivada:
dd v(v^2 e^-m v^22 k T)=2 v e^-m v^22 k T-v^3 mk T e^-m v^22 k T=0
Simplificando:
& 2-m v^2k T=0 & vp=raiz2 k Tm

Cálculo da Velocidade Média

A velocidade média barv é dada pela média ponderada da velocidade, usando f(v) :
barv=integral0^infty v f(v) d v
Substituindo f(v) :
barv=integral0^infty v cdot 4 pi(m2 pi k T)^3 / 2 v^2 e^-m v^22 k T d v
Simplificando a integral e resolvendo-a (um cálculo padrão em física estatística), encontramos:
barv=raiz8 k Tpi m

Cálculo da Velocidade Quadrática Média

A velocidade quadrática média v rms é definida pela raiz quadrada da média dos quadrados das velocidades:
vrms=raizintegral0^infty v^2 f(v) d v
Substituindo f(v) e resolvendo a integral, obtemos:
vrms=raiz3 k Tm
Agora que você aprendeu o que é distribuição de velocidades, responda o problema a seguir.
Dado um gás ideal com moléculas de massa m=4,65 times 10^-26 kg a uma temperatura de T=300 K, calcule:
(b) A velocidade quadrática média v rms .
Use k=1,38 times 10^-23 J / K para os cálculos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte (b) do exercício sobre a velocidade quadrática média $ v_{\mathrm{rms}} $. A gente trabalha com a distribuição de Maxwell-Boltzmann, que nos ajuda a entender como as velocidades das moléculas de um gás ideal estão distribuídas em uma certa temperatura. Para calcular o $ v_{\mathrm{rms}} $, que é a raiz quadrada da média dos quadrados das velocidades, a gente vai usar a fórmula:
vrms
Onde:
  • $ k $ é a constante de Boltzmann ($ 1,38 \times 10^{-23} , \mathrm{J/K} $),
  • $ T $ é a temperatura em Kelvin,
  • $ m $ é a massa de uma molécula do gás.
Vamos precisar substituir esses valores na fórmula para encontrar o $ v_{\mathrm{rms}} $.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores que já temos:
  • Massa da molécula ($ m $): $ 4,65 \times 10^{-26} , \mathrm{kg} $
  • Temperatura ($ T $): $ 300 , \mathrm{K} $
  • Constante de Boltzmann ($ k $): $ 1,38 \times 10^{-23} , \mathrm{J/K} $

Passo 3

Agora, vamos substituir esses valores na fórmula do $ v_{\mathrm{rms}} $:
vrms

Passo 4

Vamos calcular o que está dentro da raiz primeiro:
3 times 1,38 times 10^-23 times 3004,65 times 10^-26 = 3 times 1,38 times 3004,65 times 10^-2310^-26
Calculando os números:
3 times 1,38 times 3004,65 = 12424,65 approx 267,1
E para as potências de 10:
10^-2310^-26 = 10^3
Então, o valor dentro da raiz fica:
267,1 times 10^3 = 267100

Passo 5

Agora, vamos tirar a raiz quadrada desse número:
vrms = raiz267100 approx 517 , m/s

Resposta

A velocidade quadrática média $ v_{\mathrm{rms}} $ das moléculas do gás é aproximadamente 517 metros por segundo.

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