Considere uma certa mola que não obedece rigorosamente à lei de Hooke. Uma das extremidades da mola é mantida fixa. Para manter a mola comprimida ou esticada a uma distância x, é necessário aplicar uma força na extremidade livre da mola ao longo do eixo x com módulo dado por Fx=k x-b x^2+c x^3. Aqui, k=100 N / m, b=700 N / m^2 e c=12.000 N / m^3. Note que, para x>0, a mola está esticada e, para x<0, a mola está comprimida. Qual é o trabalho necessário para comprimir essa mola por 0,050 m a partir de seu comprimento sem deformação?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a mola não é linear e, pra deformar ela de um comprimento natural (x=0) até comprimi-la 0,050 m (x=−0,05 m), a força que você tem que aplicar depende de x assim:

com , e .
O conteúdo aqui é Trabalho de uma força variável em uma mola “não-Hookeana”, e a ferramenta é integrar em relação a x de 0 até −0,05 m.

Passo 2

A teoria do trabalho de uma força variável diz que
W = integralxi^xf Fx;dx
Nosso W = integral0^-0,05l(kx - b x^2 + c x^3r),dx e . Então substituímos na integral:

Passo 3

Vamos integrar termo a termo:
  1. W = l[tfrack,x^22 ;-;tfracb,x^33;+;tfracc,x^44r]0^-0,05 .
  2. .
  3. .
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Passo 4

Agora é só calcular em tfrack,x^22 = tfrac100cdot0,00252 = 0,125, -tfracb,x^33 = -tfrac700cdot(-0,000125)3 = +0,0291667, tfracc,x^44 = tfrac12000cdot0,000006254 = 0,01875 :
  • W = 0,125 + 0,0291667 + 0,01875 approx 0,1729167rm J
Substituindo:
Somando tudo:

Resposta

O trabalho necessário para comprimir a mola em 0,050 m é aproximadamente
boxed0,17rm J

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