Uma partícula movendo-se com velocidade inicial
, sofre uma aceleração dada por
. Determine a posição e a velocidade da partícula após 3.0
, assumindo que ela parte da origem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula que começa no ponto de origem e tem uma velocidade inicial na direção $ \hat{j} $ de 50 m/s. Ela também sofre uma aceleração que muda com o tempo, dada pelas equações em $ \vec{i} $ e $ \vec{j} $. Nosso objetivo é descobrir onde a partícula vai estar e qual será a sua velocidade após 3 segundos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente integrações de aceleração para encontrar a velocidade e depois a posição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a aceleração $ \mathbf{a}(t) $ nos dá como a velocidade da partícula está mudando ao longo do tempo. Para encontrar a velocidade $ \mathbf{v}(t) $, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo e adicionar a velocidade inicial.
A aceleração é dada por:
Passo 3
Vamos integrar a componente $ \hat{i} $ da aceleração para encontrar a componente $ \hat{i} $ da velocidade:
Como a partícula parte da origem e não tem velocidade inicial na direção $ \hat{i} $, $ C_x = 0 $. Então:
Passo 4
Agora, vamos integrar a componente $ \hat{j} $ da aceleração para encontrar a componente $ \hat{j} $ da velocidade:
Sabemos que a velocidade inicial na direção $ \hat{j} $ é 50 m/s, então $ C_y = 50 $. Assim:
Passo 5
Agora que temos as expressões para as componentes da velocidade, vamos substitui-las pelo tempo $ t = 3 $ segundos para encontrar a velocidade após 3 segundos.
Para $ v_x(3) $:
Para $ v_y(3) $:
Então, a velocidade após 3 segundos é:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a posição $ \mathbf{r}(t) $ integrando a velocidade em relação ao tempo. Vamos começar integrando a componente $ \hat{i} $ da velocidade:
Como a partícula parte da origem, $ C_x = 0 $. Então:
Passo 7
Agora, integramos a componente $ \hat{j} $ da velocidade:
Novamente, como a partícula parte da origem, $ C_y = 0 $. Assim:
Passo 8
Vamos agora calcular a posição após 3 segundos substituindo $ t = 3 $:
Para $ x(3) $:
Para $ y(3) $:
Então, a posição após 3 segundos é:
Resposta
Após 3 segundos, a velocidade da partícula é $ \mathbf{v}(3) = 145,5 \hat{i} + 53 \hat{j} \ m/s $ e a posição é $ \mathbf{r}(3) = 181,8 \hat{i} + 161,25 \hat{j} \ m $.