Uma partícula movendo-se com velocidade inicial v0=(50 m / s) j, sofre uma aceleração dada por a(t)= s. Determine a posição e a velocidade da partícula após 3.0 , assumindo que ela parte da origem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula que começa no ponto de origem e tem uma velocidade inicial na direção $ \hat{j} $ de 50 m/s. Ela também sofre uma aceleração que muda com o tempo, dada pelas equações em $ \vec{i} $ e $ \vec{j} $. Nosso objetivo é descobrir onde a partícula vai estar e qual será a sua velocidade após 3 segundos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente integrações de aceleração para encontrar a velocidade e depois a posição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a aceleração $ \mathbf{a}(t) $ nos dá como a velocidade da partícula está mudando ao longo do tempo. Para encontrar a velocidade $ \mathbf{v}(t) $, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo e adicionar a velocidade inicial.
A aceleração é dada por:
a(t)

Passo 3

Vamos integrar a componente $ \hat{i} $ da aceleração para encontrar a componente $ \hat{i} $ da velocidade:
i
Como a partícula parte da origem e não tem velocidade inicial na direção $ \hat{i} $, $ C_x = 0 $. Então:
i

Passo 4

Agora, vamos integrar a componente $ \hat{j} $ da aceleração para encontrar a componente $ \hat{j} $ da velocidade:
j
Sabemos que a velocidade inicial na direção $ \hat{j} $ é 50 m/s, então $ C_y = 50 $. Assim:
j

Passo 5

Agora que temos as expressões para as componentes da velocidade, vamos substitui-las pelo tempo $ t = 3 $ segundos para encontrar a velocidade após 3 segundos.
Para $ v_x(3) $:
t = 3
Para $ v_y(3) $:
vx(3)
Então, a velocidade após 3 segundos é:
vx(3) = 35(3) + 12(3)^4 = 105 + 12(81) = 105 + 40,5 = 145,5 m/s

Passo 6

Agora, vamos encontrar a posição $ \mathbf{r}(t) $ integrando a velocidade em relação ao tempo. Vamos começar integrando a componente $ \hat{i} $ da velocidade:
r(t)
Como a partícula parte da origem, $ C_x = 0 $. Então:
i

Passo 7

Agora, integramos a componente $ \hat{j} $ da velocidade:
j
Novamente, como a partícula parte da origem, $ C_y = 0 $. Assim:
y(t) = integral vy(t) dt = integral (4t - t^33 + 50) dt = 2t^2 - t^412 + 50t + Cy

Passo 8

Vamos agora calcular a posição após 3 segundos substituindo $ t = 3 $:
Para $ x(3) $:
t = 3
Para $ y(3) $:
x(3)
Então, a posição após 3 segundos é:
x(3) = 352(3)^2 + 110(3)^5 = 352(9) + 110(243) = 157,5 + 24,3 = 181,8 m

Resposta

Após 3 segundos, a velocidade da partícula é $ \mathbf{v}(3) = 145,5 \hat{i} + 53 \hat{j} \ m/s $ e a posição é $ \mathbf{r}(3) = 181,8 \hat{i} + 161,25 \hat{j} \ m $.

Exercícios relacionados