Considere a chapa circular
e suponha que a temperatura em D seja dada pela função
. Determine os pontos da chapa onde a temperatura é máxima e onde é mínima.
Passo 1
A questão pede localizar os extremos (máximo e mínimo) da temperatura dada por
na chapa circular
. O conteúdo envolve cálculo de derivadas parciais para achar pontos críticos no interior e análise na fronteira (
) usando parametrização.
Passo 2
Para achar pontos críticos no interior de
, calculo as derivadas parciais:
Isso dá
Passo 3
Na fronteira
, uso
,
. Então
Derivo em
manuseio os casos:
-
dá com e . -
dá com .
Passo 4
Comparo valores: no interior o menor vale
, na fronteira o menor é
, o maior é
. Portanto o mínimo global está em
e o máximo global ocorre em dois pontos na circunferência.
Resposta
Mínimo em (0,½) com f(0,½)=19/4. Máximos em (−√3/2,−½) e (√3/2,−½) ambos com f=29/4.