Considere a chapa circular D=(x, y) in R^2: x^2+y^2 <= 1 e suponha que a temperatura em D seja dada pela função f(x, y)=2 x^2+y^2-y+5. Determine os pontos da chapa onde a temperatura é máxima e onde é mínima.

Passo 1

A questão pede localizar os extremos (máximo e mínimo) da temperatura dada por f(x,y)=2x^2+y^2 - y +5 na chapa circular D=(x,y):x^2+y^2<=1. O conteúdo envolve cálculo de derivadas parciais para achar pontos críticos no interior e análise na fronteira ( x^2+y^2=1) usando parametrização.

Passo 2

Para achar pontos críticos no interior de D, calculo as derivadas parciais:
fx=4x=0, fy=2y-1=0
Isso dá x=0 e y=tfrac12, ponto (0,tfrac12) que está em D. Avalio ali:
f(0,tfrac12)=0+tfrac14-tfrac12+5=tfrac194=4,75

Passo 3

Na fronteira x^2+y^2=1, uso x=cos t, y=sin t. Então
f(t)=2cos^2t+sin^2t-sin t+5=6,5+tfrac12cos2t-sin t
Derivo em t:
f'(t)=-sin2t-cos t=0impliescos t(2sin t+1)=0,
manuseio os casos:
  • cos t=0 t=tfracpi2,tfrac3pi2 com f=5 e f=7.
  • sin t=-tfrac12 t=7pi/6,11pi/6 com f=tfrac294=7,25.

Passo 4

Comparo valores: no interior o menor vale 19/4=4,75, na fronteira o menor é 5, o maior é 29/4=7,25. Portanto o mínimo global está em (0,tfrac12) e o máximo global ocorre em dois pontos na circunferência.

Resposta

Mínimo em (0,½) com f(0,½)=19/4. Máximos em (−√3/2,−½) e (√3/2,−½) ambos com f=29/4.

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