Para qual(is) valor(es) de a a função
f(x)= raiz[5]x^2 cdot sen(1x) & , se x neq 0 a^2-1 & , se x=0
é contínua em x=0. Justifique sua resposta.

Passo 1

Nesse exercício temos uma função definida por partes e queremos que ela seja contínua em x=0, ou seja, precisamos que limxto0f(x) exista e seja igual ao valor de f(0), que é a^2-1. Vamos usar conceitos de limite e o teorema do sanduíche para resolver.

Passo 2

Para xneq0 temos
f(x)=raiz[5]x^2,sinl(1xr)=|x|^2/5,sinl(1xr)
Note que |x|^2/5to0 quando xto0 e que .

Passo 3

Pelo teorema do confronto (sanduíche), como \
-,|x|^2/5<=|x|^2/5,sinl(1xr)<=|x|^2/5,
e ambos os limites dos extremos tendem a zero, segue que
limxto0f(x)=0

Passo 4

Para que f seja contínua em 0, precisamos de
f(0)=a^2-1=limxto0f(x)=0
Logo,
a^2-1=0Longrightarrow a^2=1Longrightarrow a=1 ou a=-1

Resposta

a = 1 ou a = -1

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