(1,0) Encontre a aproximação linear da função f(x)=raiz[3]8-x em x=0. Use a aproximação encontrada para estimar o valor de raiz[3]7,9

Passo 1

O enunciado pede a aproximação linear (linearização) de f(x)= raiz[3]8-x em x=0 e depois usar essa reta para estimar raiz[3]7,9. O conteúdo é aproximação linear usando derivada no ponto de tangência.

Passo 2

Primeiro, calculamos f(0) e f’(x):
Temos
f(x)=(8-x)^1/3
Derivando, usando a regra da cadeia:
f'(x)=13(8-x)^-2/3cdot(-1)=-13(8-x)^-2/3
Em x=0:
f(0)=8^1/3=2,
f'(0)=-13,8^-2/3=-13,(2^-2)=-112

Passo 3

A aproximação linear em x=0 é dada por
L(x)=f(0)+f'(0),x=2-112x

Passo 4

Para estimar raiz[3]7,9 escrevemos 7,9=8-0,1, ou seja x=0,1. Então
L(0,1)=2-112cdot0,1=2-0,008333approx1,991667

Resposta

A aproximação linear é L(x)=2-tfracx12. Usando-a, estimamos raiz[3]7,9approx1,9917.

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