Determine e classifique os pontos críticos de:
;
Passo 1
O enunciado pede para determinar e classificar os pontos críticos da função
. Aqui a ideia é usar derivadas parciais para achar o gradiente e, depois, a matriz Hessiana (derivadas segundas) para decidir se cada ponto crítico é mínimo, máximo ou ponto de sela.
Passo 2
Um ponto crítico ocorre onde o gradiente de
se anula. Calculamos as derivadas parciais:
Igualando o gradiente a zero, temos
o que dá o único ponto crítico
.
Passo 3
Para classificar, montamos a matriz Hessiana de segunda derivadas:
Passo 4
Pelo teste da segunda derivada:
–
–
Como e
, a Hessiana é definida positiva, indicando que
é um ponto de mínimo. Além disso, como
cresce para qualquer direção, esse mínimo é global.
–
–
Como
Resposta
O único ponto crítico é
, que é um mínimo local e global.