Determine e classifique os pontos críticos de:
f(x, y)=x^2+y^2;

Passo 1

O enunciado pede para determinar e classificar os pontos críticos da função f(x,y)=x^2+y^2. Aqui a ideia é usar derivadas parciais para achar o gradiente e, depois, a matriz Hessiana (derivadas segundas) para decidir se cada ponto crítico é mínimo, máximo ou ponto de sela.

Passo 2

Um ponto crítico ocorre onde o gradiente de f se anula. Calculamos as derivadas parciais:
partial fpartial x=2x, partial fpartial y=2y
Igualando o gradiente a zero, temos
2x=0, 2y=0,
o que dá o único ponto crítico (0,0).

Passo 3

Para classificar, montamos a matriz Hessiana de segunda derivadas:
H = fxx & fxy fyx & fyy = 2 & 0 0 & 2

Passo 4

Pelo teste da segunda derivada:
fxx=2>0
det(H)=2cdot2-0=4>0
Como fxx>0 e det(H)>0, a Hessiana é definida positiva, indicando que (0,0) é um ponto de mínimo. Além disso, como f cresce para qualquer direção, esse mínimo é global.

Resposta

O único ponto crítico é (0,0), que é um mínimo local e global.

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