9.31 No início da compressão de um ciclo de ar-padrāo Diesel, p_{1}=170 \mathrm{kPa}, V_{1}=0,016 \mathrm{~m}^{3} e T_{1}=315 \mathrm{~K}. A taxa de compressão é 15 e a temperatura máxima do ciclo é 1400 K . Determine
(a) a massa de ar, em kg.
(b) a adição e a rejeição de calor por ciclo, ambas em kJ.
(c) o trabalho líquido, em kJ, e a eficiência térmica.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • p_{1}=170\\ \text{kPa}.
  • V_{1}=0,016\\ \text{m}^3.
  • T_{1}=315\\ \text{K}.
  • Taxa de compressão (razão de compressão) r=\dfrac{V_{1}}{V_{2}}=15.
  • Temperatura máxima do ciclo (final da adição de calor) T_{3}=1400\\ \text{K}.
O enunciado pede:
(a) a massa de ar por ciclo, em kg;
(b) a adição de calor por ciclo Q_{in} e a rejeição de calor por ciclo Q_{out}, ambas em kJ;
(c) o trabalho líquido por ciclo W_{net}, em kJ, e a eficiência térmica \eta.
Observações/assunções (padrão em exercício “ar-padrão” Diesel):
  • Usar ar ideal e capacidades caloríficas constantes.
  • Constantes tomadas (valores padrão): R=0,287\\ \text{kJ}\!/\!(\text{kg}\cdot\text{K}),\quad C_{p}=1,005\\ \text{kJ}\!/\!(\text{kg}\cdot\text{K}),\quad C_{v}=0,718\\ \text{kJ}\!/\!(\text{kg}\cdot\text{K}),\quad \gamma=\dfrac{C_{p}}{C_{v}}=1,4.

Passo 2

Calcular a massa usando a equação do gás ideal para o estado 1:
p_{1}V_{1}=mR T_{1}.
Isolando m:
m=\dfrac{p_{1}V_{1}}{R T_{1}}.
Agora substituo os números (usar unidades compatíveis: p em kPa, V em m ^3, R em kJ/(kg·K) e T em K; note que 1\\ \text{kPa}\cdot\text{m}^3=1\\ \text{kJ}):
m=\dfrac{170\cdot 0,016}{0,287\cdot 315}.
Faço as contas passo a passo:
p_{1}V_{1}=170\cdot0,016=2,72\\ \text{kJ},
R T_{1}=0,287\cdot315=90,405\\ \text{kJ/kg}.
Portanto
m=\dfrac{2,72}{90,405}\approx 0,03008\\ \text{kg}.

Passo 3

Determinar T_{2} após compressão adiabática reversível (1→2). Para um processo adiabático reversível (isentropico) do gás ideal vale:
T_{2}=T_{1}\,r^{\gamma-1},
onde r=\dfrac{V_{1}}{V_{2}} e \gamma=1,4. Aqui \gamma-1=0,4.
T_{2}=315\cdot 15^{0,4}.
Calculo de 15^{0,4}: 15^{0,4}\approx 2,95326. Assim
T_{2}\approx 315\cdot2,95326\approx 930,27\\ \text{K}.

Passo 4

Determinar a razão de corte r_{c}=\dfrac{V_{3}}{V_{2}}. No processo 2→3 a adição de calor é a pressão constante, logo T é proporcional a V nessa etapa:
r_{c}=\dfrac{V_{3}}{V_{2}}=\dfrac{T_{3}}{T_{2}}.
Substituindo:
r_{c}=\dfrac{1400}{930,27}\approx 1,5047.

Passo 5

Calcular a adição de calor por ciclo Q_{in}. A adição ocorre no processo isobárico 2→3; a energia adicionada por unidade de massa é q_{in}=C_{p}(T_{3}-T_{2}). Então o calor por ciclo é
Q_{in}=m\,C_{p}\,(T_{3}-T_{2}).
Substituo valores:
T_{3}-T_{2}=1400-930,27=469,73\\ \text{K},
q_{in}=1,005\cdot469,73\approx 472,08\\ \text{kJ/kg},
Q_{in}=0,03008\cdot472,08\approx 14,20\\ \text{kJ}.

Passo 6

Determinar T_{4} após a expansão adiabática 3→4. Para a expansão adiabática reversível vale
T_{3}V_{3}^{\gamma-1}=T_{4}V_{4}^{\gamma-1}.
No ciclo Diesel, V_{4}=V_{1}. Usando V_{3}/V_{1}=(V_{3}/V_{2})\,(V_{2}/V_{1})=r_{c}/r, obtemos
T_{4}=T_{3}\left(\dfrac{V_{3}}{V_{4}}\right)^{\gamma-1} = T_{3}\left(\dfrac{r_{c}}{r}\right)^{\gamma-1}.
Substituindo os valores ( \gamma-1=0,4):
T_{4}=1400\left(\dfrac{1,5047}{15}\right)^{0,4}.
Calculo:
\dfrac{1,5047}{15}=0,10031,\quad 0,10031^{0,4}\approx 0,39868,
T_{4}\approx 1400\cdot0,39868\approx 558,15\\ \text{K}.

Passo 7

Calcular a rejeição de calor por ciclo Q_{out}. A rejeição ocorre no processo 4→1 (volume constante), então por unidade de massa:
q_{out}=C_{v}(T_{4}-T_{1}),
e por ciclo
Q_{out}=m\,C_{v}\,(T_{4}-T_{1}).
Substituindo:
T_{4}-T_{1}=558,15-315=243,15\\ \text{K},
q_{out}=0,718\cdot243,15\approx 174,61\\ \text{kJ/kg},
Q_{out}=0,03008\cdot174,61\approx 5,253\\ \text{kJ}.

Passo 8

Calcular o trabalho líquido por ciclo e a eficiência térmica.
Trabalho líquido:
W_{net}=Q_{in}-Q_{out}.
Substituindo os valores numéricos:
W_{net}\approx 14,20-5,253\approx 8,948\\ \text{kJ}.
Eficiência térmica:
\eta=\dfrac{W_{net}}{Q_{in}}=\dfrac{Q_{in}-Q_{out}}{Q_{in}}=1-\dfrac{Q_{out}}{Q_{in}}.
Substituindo:
\eta\approx \dfrac{8,948}{14,20}\approx 0,6299\approx 62,99\%.

Resposta

(a) m=0,03008\\ \text{kg}
(b) Q_{in}=14,20\\ \text{kJ}
Q_{out}=5,253\\ \text{kJ}
(c) W_{net}=8,948\\ \text{kJ}
\eta=62,99\\ \%

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