Considere a cicloide gamma(t)=(t-sin t, 1-cos t), 0 <= t <= 2 pi.
(a) Calcule
integralgammaB, O y d x-x d y
onde gammaB, O é o arco de cicloide entre os pontos O=(0,0) e B=(2 pi, 0), percorrido de B para O.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de linha da forma diferencial y,dx - x,dy ao longo do arco da cicloide
gamma(t) = l(t - sin t,;1 - cos tr), 0<= t<= 2pi,
percorrido de B=(2pi,0) até O=(0,0). Vamos usar parametrização e integração direta.

Passo 2

Para seguir de B a O tomamos t de 2pi até 0. Da parametrização extraímos
x(t) = t - sin t, y(t)=1 - cos t,
dx = (1 - cos t),dt, dy = sin t,dt

Passo 3

Substituímos na forma diferencial:
y,dx - x,dy = (1-cos t),(1-cos t),dt ;-;(t-sin t),sin t,dt

Passo 4

Expandindo e simplificando:
(1-cos t)^2 - tsin t + sin^2 t = 1 -2cos t+cos^2 t - tsin t + sin^2 t = 2 -2cos t - tsin t
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y,dx - x,dy = l[,2(1-cos t) - tsin tr],dt

Passo 5

A integral com a orientação t=2pito0 é
integralgammaB,O y,dx - x,dy = integralt=2pi^0 l[2(1-cos t)-tsin tr],dt = -integral0^2pil[2(1-cos t)-tsin tr],dt
Calculamos separadamente:
integral0^2pi2(1-cos t),dt =2l[t-sin tr]0^2pi =4pi,
integral0^2pitsin t,dt =l[-tcos t+sin tr]0^2pi =-2pi
Assim
integral0^2pil[2(1-cos t)-tsin tr],dt =4pi -(-2pi) =6pi

Passo 6

Aplicando o sinal menos da mudança de limites:
integralgammaB,O y,dx - x,dy = -6pi

Resposta

-6pi

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