Considere o campo vetorial
F(x, y)=(y^21+x^2, 2 y arctan (x)+1)
(a) F(x, y) é conservativo?

Passo 1

O enunciado fornece o campo vetorial
F(x,y)=l(P(x,y),,Q(x,y)r) com P(x,y)=y^21+x^2, ;Q(x,y)=2yarctan(x)+1,
e pergunta se F é conservativo. Vamos usar o critério de igualdade das derivadas parciais cruzadas num domínio simplesmente conexo.

Passo 2

Primeiro note que o domínio de F é todo R^2, pois 1+x^2>0 para todo x, e R^2 é simplesmente conexo. Em seguida, extraímos
P(x,y)=y^21+x^2, Q(x,y)=2yarctan(x)+1

Passo 3

Calculamos a derivada parcial de P em relação a y:
partial Ppartial y =partialpartial y!l(y^21+x^2r) =2y1+x^2

Passo 4

Agora calculamos a derivada parcial de Q em relação a x:
partial Qpartial x =partialpartial xl(2yarctan(x)+1r) =2ycdot11+x^2 =2y1+x^2

Passo 5

Como
partial Ppartial y =2y1+x^2 e partial Qpartial x =2y1+x^2,
temos igualdade das derivadas cruzadas em todo o domínio simplesmente conexo. Logo F é conservativo.

Resposta

Sim, F(x,y) é um campo conservativo.

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