Considere o campo vetorial
(a)
é conservativo?
Passo 1
O enunciado fornece o campo vetorial
e pergunta se
é conservativo. Vamos usar o critério de igualdade das derivadas parciais cruzadas num domínio simplesmente conexo.
Passo 2
Primeiro note que o domínio de
é todo
, pois
para todo
, e
é simplesmente conexo. Em seguida, extraímos
Passo 3
Calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Agora calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Como
temos igualdade das derivadas cruzadas em todo o domínio simplesmente conexo. Logo
é conservativo.
Resposta
Sim,
é um campo conservativo.