Seja C a curva dada pela interseção do cilindro x^2+y^2=1 com a superfície z=e^x y, na região do espaço onde x >= 0 e y >= 0. Considere o campo de força
F(x, y, z)=(y z^2, x z^2+1,2 x y z)
(c) Calcule o trabalho feito pelo campo F(x, y, z) para mover uma partícula ao longo de C, utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha.

Passo 1

O enunciado dá a curva C que é o arco da circunferência x^2+y^2=1 no primeiro quadrante, com coordenadas (x,y,z) sujeitas ainda a z=e^xy. Queremos calcular o trabalho
integralCvec Fcdot dvec r
para o campo
vec F(x,y,z)=l(yz^2,,xz^2+1,,2xyzr),
usando o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha, ou seja, mostrando que vec F é conservativo e encontrando seu potencial phi.

Passo 2

Verificamos que vec F é conservativo computando as derivadas parciais:
partialpartial y(yz^2)=z^2 e partialpartial x(xz^2+1)=z^2,
partialpartial z(yz^2)=2yz e partialpartial x(2xyz)=2yz,
partialpartial z(xz^2+1)=2xz e partialpartial y(2xyz)=2xz.
Como todas as componentes do rotacional são zero, vec F é conservativo.

Passo 3

Para achar o potencial phi(x,y,z) satisfazendo nablaphi=vec F, integramos:
phi(x,y,z)=integral yz^2,dx = xyz^2+g(y,z)
Depois impomos
partialphipartial y=xz^2+partial gpartial y=xz^2+1 ;Longrightarrow; partial gpartial y=1 ;Longrightarrow; g(y,z)=y+h(z)
Finalmente
partialphipartial z=2xyz+h'(z)=2xyz ;Longrightarrow; h'(z)=0 ;Longrightarrow; h(z)=const
Podemos tomar a constante igual a zero, logo
phi(x,y,z)=xyz^2+y

Passo 4

Os extremos do arco C no primeiro quadrante são:
Ponto inicial A:(x,y)=(1,0) z=e^1cdot0=1, isto é, A=(1,0,1).
Ponto final B:(x,y)=(0,1) z=e^0cdot1=1, isto é, B=(0,1,1).

Passo 5

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo para campos conservativos,
integralCvec Fcdot dvec r =phi(B)-phi(A)
Calculamos
phi(B)=phi(0,1,1)=0cdot1cdot1^2+1=1, phi(A)=phi(1,0,1)=1cdot0cdot1^2+0=0,
portanto
integralCvec Fcdot dvec r = 1 - 0 = 1

Resposta

O trabalho realizado pelo campo vec F ao longo de C é 1.

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