Seja
a curva dada pela interseção do cilindro
com a superfície
, na região do espaço onde
e
. Considere o campo de força
(c) Calcule o trabalho feito pelo campo
para mover uma partícula ao longo de
, utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha.
Passo 1
O enunciado dá a curva
que é o arco da circunferência
no primeiro quadrante, com coordenadas
sujeitas ainda a
. Queremos calcular o trabalho
para o campo
usando o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha, ou seja, mostrando que
é conservativo e encontrando seu potencial
.
Passo 2
Verificamos que
é conservativo computando as derivadas parciais:
e
,
e
,
e
.
Como todas as componentes do rotacional são zero, é conservativo.
Como todas as componentes do rotacional são zero,
Passo 3
Para achar o potencial
satisfazendo
, integramos:
Depois impomos
Finalmente
Podemos tomar a constante igual a zero, logo
Passo 4
Os extremos do arco
no primeiro quadrante são:
Ponto inicial dá
, isto é,
.
Ponto final dá
, isto é,
.
Ponto inicial
Ponto final
Passo 5
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo para campos conservativos,
Calculamos
portanto
Resposta
O trabalho realizado pelo campo
ao longo de
é
.