Considere o cilindro Q=(x, y, z) ; x^2+y^2 <= 3^2 e 0 <= z <= 4, com densidade de<a0, e o problema de calcular a força gravitacional com que ele atrai uma partícula de massa m0 situada no ponto P0=(0,0,0). Denote por G a constante de gravitação e por d F(P) a força com que a massa d m=de<a0 d x d y d z do ponto P=(x, y, z) atrai a partícula. Por simetria, as componentes horizontais de d F(x, y, z) e d F(-x,-y, z) se cancelam, restando apenas as componentes verticais dessas forças.
a) Use as leis de gravitação para determinar d F(P).
b) Use um argumento infinitesimal para obter a componente vertical Fnu da força F=(0,0, Fnu) com que o cilindro atrai a partícula.
c) Calcule a integral integral0^4 z d z(r^2+z^2)^3 / 2.
d) Calcule Fnu usando os itens anterior e coordenadas polares.
e) Seja d>0 tal que FV=G M m0 / d^2, onde M=pi 3^2 4 de<a0 é a massa de Q. Verifique se d é menor, igual ou maior do que a distância entre a partícula e o centro de massa do cilindro.

Passo 1

O enunciado trata da atração gravitacional de um cilindro uniforme
Q = (x,y,z)mid x^2+y^2<=3^2,;0<= z<=4
de densidade de<a0 sobre uma partícula de massa m0 em P0=(0,0,0). Vamos usar a lei de gravitação de Newton e simetria para obter a força resultante, que só tem componente vertical.

Passo 2

(a) Cada elemento de massa
dm=de<a0,dV
em P=(x,y,z) atrai m0 com força vetorial
d F(P) =G,m0,dm| r|^3, r,
onde r=(x,y,z)-0=(x,y,z) e | r|=(x^2+y^2+z^2)^1/2. Pela simetria, as componentes em x,y se anulam, ficando só a vertical
dFnu =G,m0,de<a0,z(x^2+y^2+z^2)^3/2,dV

Passo 3

(b) Em coordenadas cilíndricas (r,theta,z), x^2+y^2=r^2 e dV=r,dr,dtheta,dz. Integrando thetain[0,2pi] obtemos
Fnu =integral dFnu =2pi,G,m0,de<a0 integralz=0^4!integralr=0^3 r,z(r^2+z^2)^3/2 ,dr,dz

Passo 4

(c) Fixando r, a integral em z
integral0^4z(r^2+z^2)^3/2,dz
faz a substituição u=r^2+z^2, du=2z,dz, e resulta em
integral0^4z(r^2+z^2)^3/2,dz =l[-1raizr^2+z^2r]0^4 =1r-1raizr^2+16

Passo 5

(d) Voltando a Fnu, primeiro integramos em r:
integral0^3r,z(r^2+z^2)^3/2,dr =zl(1z-1raiz9+z^2r) =1-zraiz9+z^2
Então
Fnu =2pi G m0de<a0 integral0^4l(1-zraiz9+z^2r)dz =2pi G m0de<a0l[,z-raiz9+z^2r]0^4 =4pi G m0de<a0cdot2/2 =4pi G m0de<a0

Passo 6

(e) A massa total do cilindro é
M=picdot3^2cdot4,de<a0=36pi,de<a0
Como queremos escrever
Fnu=G,M,m0d^2,
temos
4pi G m0de<a0 =G,(36pide<a0),m0d^2 Longrightarrow d^2=9 Longrightarrow d=3
A distância entre P0 e o centro de massa (0,0,2) é 2, logo d=3>2.

Resposta

a)
d F(P) =G,m0,de<a0,dV(x^2+y^2+z^2)^3/2,(x,y,z),
com componente vertical
dFnu =G,m0,de<a0,z(x^2+y^2+z^2)^3/2,dV
b)
Fnu =2pi,G,m0,de<a0 integral0^4!integral0^3 r,z(r^2+z^2)^3/2 ,dr,dz
c)
integral0^4z(r^2+z^2)^3/2,dz =1r-1raizr^2+16
d)
Fnu =4pi,G,m0,de<a0
e)
d=3,
que é maior que a distância 2 entre a partícula e o centro de massa do cilindro.

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