Considere o cilindro
e
, com densidade
, e o problema de calcular a força gravitacional com que ele atrai uma partícula de massa
situada no ponto
. Denote por
a constante de gravitação e por
a força com que a massa
do ponto
atrai a partícula. Por simetria, as componentes horizontais de
e
se cancelam, restando apenas as componentes verticais dessas forças.
a) Use as leis de gravitação para determinar
.
b) Use um argumento infinitesimal para obter a componente vertical
da força
com que o cilindro atrai a partícula.
c) Calcule a integral
.
d) Calcule
usando os itens anterior e coordenadas polares.
e) Seja
tal que
, onde
é a massa de
. Verifique se
é menor, igual ou maior do que a distância entre a partícula e o centro de massa do cilindro.
a) Use as leis de gravitação para determinar
b) Use um argumento infinitesimal para obter a componente vertical
c) Calcule a integral
d) Calcule
e) Seja
Passo 1
O enunciado trata da atração gravitacional de um cilindro uniforme
de densidade
sobre uma partícula de massa
em
. Vamos usar a lei de gravitação de Newton e simetria para obter a força resultante, que só tem componente vertical.
Passo 2
(a) Cada elemento de massa
em
atrai
com força vetorial
onde
e
. Pela simetria, as componentes em
se anulam, ficando só a vertical
Passo 3
(b) Em coordenadas cilíndricas
,
e
. Integrando
obtemos
Passo 4
(c) Fixando
, a integral em
faz a substituição
,
, e resulta em
Passo 5
(d) Voltando a
, primeiro integramos em
:
Então
Passo 6
(e) A massa total do cilindro é
Como queremos escrever
temos
A distância entre
e o centro de massa
é
, logo
.
Resposta
a)
com componente vertical
b)
c)
d)
e)
que é maior que a distância
entre a partícula e o centro de massa do cilindro.