Identify the type of conic section whose equation is given and find the vertices and foci.
25. x^2=y+1

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^2 = y + 1
e pede para identificarmos o tipo de cônica e encontrarmos o(s) vértice(s) e o(s) foco(s). Aqui vamos usar a forma padrão de uma parábola do tipo
y - k = a,(x - h)^2
para classificá-la e extrair seus parâmetros.

Passo 2

Reescrevendo em função de y, temos
y = x^2 - 1
Isso é da forma
y - (-1) = 1cdot(x - 0)^2,
logo a parábola tem centro de simetria (vértice) em
(h,k) = (0,,-1)
e coeficiente a=1.

Passo 3

Para uma parábola de equação
y - k = a,(x - h)^2,
o parâmetro focal p satisfaz a = tfrac14p. Aqui a=1, então
1 = 14p Longrightarrow p = tfrac14
Como p>0, a parábola abre para cima.

Passo 4

O foco fica a uma distância p acima do vértice, ou seja,
foco = l(h,;k + pr) = l(0,,-1 + tfrac14r) = l(0,,-tfrac34r)

Resposta

A cônica é uma parábola que abre para cima.
Vértice: (0, -1)
Foco: l(0, -tfrac34r)

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